Formule utile pentru Evaluarea Națională la Matematică

Găsești formule, reguli și proprietăți importante din matematica de gimnaziu. Fiecare formulă are explicația simbolurilor și te trimite la lecția în care este predată. Deschide capitolul care te interesează și rezolvă apoi câteva exerciții din lecția asociată.

Cum folosești fișa

Capitolele sunt închise inițial. Deschide unul, recitește regulile și verifică exemplele. Poți alege recapitularea rapidă sau lista completă de formule. Selecția rapidă este orientativă și nu înlocuiește parcurgerea materiei sau exersarea subiectelor de examen.

Selecție orientativă realizată de eMatematica pentru recapitulare. Nu este o listă oficială și nu exclude celelalte conținuturi care pot fi evaluate la examen.

Caută o formulă sau un concept

96 din 161 de formule și reguli afișate în 6 capitole

Numere și operațiiOperații, fracții, procente, proporții, puteri, radicali, mulțimi și unități.28 formule

Ordinea operațiilor

\text{paranteze}\to\text{puteri}\to(\cdot,:)\to(+,-)

Operațiile de același ordin se efectuează de la stânga la dreapta.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: numerele din expresie

Exemplu

2 + 3 · 4 = 14, nu 20.

Vezi explicația în lecție: Ordinea efectuării operațiilor și parantezele

Teorema împărțirii cu rest

D = Î \cdot C + R, \qquad 0 \le R < Î

Explicații, simboluri și exemplu

$D$: deîmpărțitul
$Î$: împărțitorul (diferit de 0)
$C$: câtul
$R$: restul, mai mic decât împărțitorul

Exemplu

23 = 5\cdot 4 + 3,\quad 0\le 3<5

Restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul.

Vezi explicația în lecție: Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Criteriul de divizibilitate cu 3

3\mid n\iff3\mid S(n)

Suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu 3.

Explicații, simboluri și exemplu

$S(n)$: suma cifrelor lui n

Exemplu

Pentru 123: 1 + 2 + 3 = 6, deci 123 este divizibil cu 3.

Vezi explicația în lecție: Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

Criteriul de divizibilitate cu 9

9\mid n\iff9\mid S(n)

Suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu 9.

Explicații, simboluri și exemplu

$S(n)$: suma cifrelor lui n

Exemplu

Pentru 729: 7 + 2 + 9 = 18, deci 729 este divizibil cu 9.

Vezi explicația în lecție: Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

Relația dintre CMMDC și CMMMC

\operatorname{cmmdc}(a,b)\cdot\operatorname{cmmmc}(a,b)=a\cdot b

Produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al două numere naturale nenule este egal cu produsul celor două numere. Condiție: a și b sunt numere naturale nenule.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: numere naturale nenule

Exemplu verificat

\operatorname{cmmdc}(12,18)\cdot\operatorname{cmmmc}(12,18)=6\cdot36=12\cdot18=216

c.m.m.d.c. înseamnă cel mai mare divizor comun, iar c.m.m.m.c. înseamnă cel mai mic multiplu comun. Relația se aplică pentru două numere naturale nenule.

Vezi explicația în lecție: Cel mai mic multiplu comun

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}

Poți folosi și cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,c$: numărătorii
$b,d$: numitorii, nenuli

Exemplu

1/2 + 1/3 = 5/6.

Vezi explicația în lecție: Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

Înmulțirea fracțiilor

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Explicații, simboluri și exemplu

$a, c$: numărătorii
$b, d$: numitorii (nenuli)

Vezi explicația în lecție: Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

Împărțirea fracțiilor

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}

Explicații, simboluri și exemplu

$a, c$: numărătorii (c ≠ 0)
$b, d$: numitorii (nenuli)

Vezi explicația în lecție: Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

Procentul dintr-un număr

p\% \text{ din } N = \dfrac{p}{100} \times N

Explicații, simboluri și exemplu

$p$: procentul
$N$: numărul din care se calculează procentul

Exemplu

20\%\text{ din }150=\dfrac{20}{100}\cdot150=30

Procentul se transformă mai întâi într-o fracție cu numitorul 100.

Vezi explicația în lecție: Fracție și procent dintr-un număr

Creșterea cu p procente

N_{\mathrm{nou}}=N_{\mathrm{vechi}}\left(1+\frac p{100}\right)

Procentul se calculează din valoarea inițială.

Explicații, simboluri și exemplu

$p$: procentul de creștere
$N$: valoarea inițială

Exemplu

100 lei cu o creștere de 20% devin 120 lei.

Vezi explicația în lecție: Fracție și procent dintr-un număr

Scăderea cu p procente

N_{\mathrm{nou}}=N_{\mathrm{vechi}}\left(1-\frac p{100}\right)

Pentru o reducere obișnuită, 0 ≤ p ≤ 100.

Explicații, simboluri și exemplu

$p$: procentul de scădere
$N$: valoarea inițială

Exemplu

200 lei cu o reducere de 15% devin 170 lei.

Vezi explicația în lecție: Fracție și procent dintr-un număr

Aflarea întregului din procent

p\%\text{ din }x=a\quad\Rightarrow\quad x=\frac{100a}{p}

Procentul p trebuie să fie diferit de zero.

Explicații, simboluri și exemplu

$p$: procent nenul
$a$: partea cunoscută
$x$: întregul

Exemplu

Dacă 25% din x este 30, atunci x = 120.

Vezi explicația în lecție: Fracție și procent dintr-un număr

Proprietatea fundamentală a proporției

\frac ab=\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc

Numitorii b și d trebuie să fie nenuli.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b,c,d$: termenii proporției

Exemplu rezolvat

\frac{x}{4}=\frac68\ \Rightarrow\ 8x=24\ \Rightarrow\ x=3

Aplică produsul mezilor și al extremilor.

Vezi explicația în lecție: Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

Mărimi direct proporționale

y=kx

Raportul y/x este constant pentru x nenul.

Explicații, simboluri și exemplu

$k$: constanta de proporționalitate
$x,y$: valorile celor două mărimi

Vezi explicația în lecție: Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

Mărimi invers proporționale

xy=k

Când o mărime crește, cealaltă scade proporțional, pentru valori pozitive.

Explicații, simboluri și exemplu

$k$: produsul constant
$x,y$: valorile celor două mărimi

Vezi explicația în lecție: Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

Produsul puterilor cu aceeași bază

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: baza puterii
$m, n$: exponenții (numere naturale)

Vezi explicația în lecție: Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

Câtul puterilor cu aceeași bază

a^m : a^n = a^{m-n}

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: baza puterii (nenulă)
$m, n$: exponenții, cu m ≥ n

Vezi explicația în lecție: Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

Puterea unei puteri

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: baza puterii
$m, n$: exponenții (numere naturale)

Vezi explicația în lecție: Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

Puterea cu exponent întreg negativ

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad (a \ne 0)

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: baza (nenulă)
$n$: exponentul, număr natural

Vezi explicația în lecție: Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

Produsul radicalilor

\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}, \quad a \ge 0,\; b \ge 0

Explicații, simboluri și exemplu

$a, b$: numere reale pozitive sau 0

Vezi explicația în lecție: Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

Radicalul pătratului unui număr real

\sqrt{a^2}=|a|

Nu scrie a fără modul dacă a poate fi negativ.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: număr real

Exemplu

√((−5)²) = 5, nu −5.

Vezi explicația în lecție: Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Scoaterea factorilor de sub radical

\sqrt{a^2 b} = \lvert a\rvert\sqrt{b}, \quad b \ge 0

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: factorul care se scoate de sub radical
$b$: numărul rămas sub radical

Vezi explicația în lecție: Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

Raționalizarea numitorului de forma a√b

\begin{aligned}\dfrac{m}{a\sqrt b} &= \dfrac{m\cdot\sqrt b}{a\sqrt b\cdot\sqrt b} = \dfrac{m\sqrt b}{ab} \\ &\qquad (a\ne0,\ b>0)\end{aligned}

Explicații, simboluri și exemplu

$m$: numărătorul
$a$: factorul din fața radicalului (nenul)
$b$: numărul de sub radical (pozitiv)

Vezi explicația în lecție: Raționalizarea numitorului de forma a√b

Modulul unui număr real

\lvert x\rvert = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}

Explicații, simboluri și exemplu

$x$: un număr real

Exemplu

|-7|=7

Modulul este distanța față de zero, deci nu poate fi negativ.

Vezi explicația în lecție: Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

Media geometrică a două numere

G = \sqrt{ab} \qquad (a\ge0,\ b\ge0)

Explicații, simboluri și exemplu

$G$: media geometrică
$a, b$: cele două numere nenegative

Vezi explicația în lecție: Media aritmetică ponderată și media geometrică

Reuniunea mulțimilor

A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{sau}\ x\in B\}

Un element comun se scrie o singură dată în reuniune.

Explicații, simboluri și exemplu

$A,B$: mulțimile considerate

Exemplu rezolvat

A=\{1,2\},\ B=\{2,3\}\ \Rightarrow A\cup B=\{1,2,3\}

Elementul 2 se scrie o singură dată.

Vezi explicația în lecție: Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

Intersecția mulțimilor

A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{și}\ x\in B\}

Dacă nu au elemente comune, intersecția este mulțimea vidă.

Explicații, simboluri și exemplu

$A,B$: mulțimile considerate

Exemplu rezolvat

A=\{1,2\},\ B=\{2,3\}\ \Rightarrow A\cap B=\{2\}

Intersecția conține doar elementele comune.

Vezi explicația în lecție: Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

Intersecția intervalelor

[1,4]\cap[3,6]=[3,4]

Se păstrează doar numerele comune ambelor intervale.

Explicații, simboluri și exemplu

$A,B$: intervale

Exemplu

[1,4] ∩ [3,6] = [3,4].

Vezi explicația în lecție: Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

AlgebrăEcuații și identități algebrice utile pentru calcule.14 formule

Scoaterea factorului comun

ab+ac=a(b+c)

Verifică prin dezvoltarea parantezei.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: factor comun
$b,c$: termeni rămași în paranteză

Exemplu rezolvat

6x+9=3(2x+3)

Factorul comun este 3.

Vezi explicația în lecție: Descompunerea în factori: factor comun și grupare

Pătratul sumei

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Explicații, simboluri și exemplu

$a, b$: numere reale sau expresii

Vezi explicația în lecție: Formule de calcul prescurtat

Pătratul diferenței

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Explicații, simboluri și exemplu

$a, b$: numere reale sau expresii

Vezi explicația în lecție: Formule de calcul prescurtat

Produsul sumei cu diferența

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Explicații, simboluri și exemplu

$a, b$: numere reale sau expresii

Vezi explicația în lecție: Formule de calcul prescurtat

Trinom pătrat perfect

a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2

Termenul din mijloc trebuie să fie exact ±2ab.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: numere reale sau expresii

Exemplu rezolvat

x^2-6x+9=(x-3)^2

Termenul din mijloc este −2 · x · 3.

Vezi explicația în lecție: Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

Ecuația de gradul I

ax+b=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac ba

Formula se aplică doar dacă a ≠ 0.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: coeficienți reali
$x$: necunoscuta

Exemplu rezolvat

3x-12=0\ \Rightarrow\ x=4

Verificare: 3 · 4 − 12 = 0.

Vezi explicația în lecție: Ecuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme

Proprietatea produsului nul

ab=0\quad\Longleftrightarrow\quad a=0\ \text{sau}\ b=0

Foarte utilă după descompunerea în factori.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: numere reale sau expresii

Vezi explicația în lecție: Ecuații de gradul al II-lea

Ecuație de gradul al II-lea incompletă

x^2=a,\quad a>0\Longrightarrow x=\pm\sqrt a

Pentru a=0 soluția este x=0; pentru a<0 nu există soluții reale.

Explicații, simboluri și exemplu

$x$: necunoscuta
$a$: număr real pozitiv

Exemplu

x²=25 are soluțiile x=−5 și x=5.

Vezi explicația în lecție: Ecuații de gradul al II-lea

Ecuație de gradul al II-lea prin factor comun

x^2-4x=0\iff x(x-4)=0

După factorizare, aplică proprietatea produsului nul.

Explicații, simboluri și exemplu

$x$: necunoscuta

Exemplu

Soluțiile sunt x=0 sau x=4.

Vezi explicația în lecție: Ecuații de gradul al II-lea

Schimbarea sensului inegalității

a<b,\ c<0\quad\Longrightarrow\quad ac>bc

La înmulțire sau împărțire cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează.

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: numere reale
$c$: număr negativ

Exemplu rezolvat

-2x>6\ \Rightarrow\ x<-3

Împărțim cu −2 și inversăm semnul.

Vezi explicația în lecție: Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

Scrierea soluției inecuației ca interval

x\ge 2\iff x\in[2,+\infty)

La infinit se folosește întotdeauna paranteză rotundă.

Explicații, simboluri și exemplu

$x$: necunoscuta reală

Exemplu

x<−3 corespunde intervalului (−∞,−3).

Vezi explicația în lecție: Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

Metoda substituției pentru sisteme

\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}

Exprimi o necunoscută din prima ecuație și o înlocuiești în a doua.

Explicații, simboluri și exemplu

$x,y$: necunoscute

Exemplu

Din x=7−y rezultă 7−y−y=1, deci y=3 și x=4.

Vezi explicația în lecție: Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

Metoda reducerii pentru sisteme

\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}\Longrightarrow 3x=9

Adună ecuațiile după aducerea coeficienților unei necunoscute la valori opuse.

Explicații, simboluri și exemplu

$x,y$: necunoscute

Exemplu

x=3 și y=2; verificare: 2·3+2=8 și 3−2=1.

Vezi explicația în lecție: Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

Condiția de existență a fracției algebrice

\frac{P(x)}{Q(x)},\qquad Q(x)\ne0

Numitorul nu poate fi zero; restricția rămâne și după simplificare.

Explicații, simboluri și exemplu

$P,Q$: expresii algebrice
$x$: necunoscuta

Exemplu

(x²−1)/(x−1)=x+1, numai pentru x ≠ 1.

Vezi explicația în lecție: Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

Funcții și coordonateCoordonate, distanțe în plan și pregătirea pentru studiul funcțiilor.5 formule

Distanța dintre două puncte din plan

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Explicații, simboluri și exemplu

$AB$: distanța dintre punctele A și B
$x_A, y_A$: coordonatele punctului A
$x_B, y_B$: coordonatele punctului B

Vezi explicația în lecție: Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

Funcția liniară

f(x)=ax+b

Graficul pe ℝ este o dreaptă; dacă a = 0, este orizontală.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: panta graficului
$b$: ordonata la origine
$x$: argumentul funcției

Exemplu rezolvat

f(x)=2x+1,\quad f(3)=2\cdot3+1=7

Înlocuiești x cu valoarea cerută.

Vezi explicația în lecție: Funcția liniară f(x) = ax + b

Intersecția graficului liniar cu Ox

f(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac ba

Valabil pentru a ≠ 0; punctul de intersecție este (-b/a, 0).

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: coeficienții funcției f(x)=ax+b

Exemplu rezolvat

2x-6=0\ \Rightarrow\ x=3

Intersecția cu Ox are coordonatele (3, 0).

Vezi explicația în lecție: Funcția liniară f(x) = ax + b

Intersecția funcției liniare cu Oy

f(x)=ax+b\Longrightarrow (0,b)\in G_f

Valabil dacă 0 aparține domeniului; graficul pe ℝ conține (0,b).

Explicații, simboluri și exemplu

$a,b$: coeficienți reali

Exemplu

Pentru f(x)=3x−2, intersecția cu Oy este (0,−2).

Vezi explicația în lecție: Funcția liniară f(x) = ax + b

Creșterea și descreșterea funcției liniare

a>0\Rightarrow f\text{ crescătoare};\quad a<0\Rightarrow f\text{ descrescătoare}

Pe un interval sau pe ℝ, dacă a=0 funcția este constantă.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: coeficientul lui x

Exemplu

f(x)=−2x+1 este descrescătoare.

Vezi explicația în lecție: Funcția liniară f(x) = ax + b

Date și probabilitățiMedii, mediană, mod, frecvențe și probabilități.7 formule

Media aritmetică

m=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

Aduni toate valorile și împarți la numărul lor.

Explicații, simboluri și exemplu

$x_i$: valorile din set
$n$: numărul valorilor

Exemplu rezolvat

m=\frac{6+8+10}{3}=8

Numărul valorilor este 3, nu suma lor.

Vezi explicația în lecție: Media unui set de date

Media aritmetică din tabel de frecvențe

\overline{x}=\frac{x_1n_1+\cdots+x_kn_k}{n_1+\cdots+n_k}

Suma frecvențelor este numărul total al observațiilor.

Explicații, simboluri și exemplu

$x_i$: valorile distincte
$n_i$: frecvențe absolute

Exemplu

Notele 7 (de două ori) și 9 (de trei ori): (7·2+9·3)/5=8,2.

Vezi explicația în lecție: Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

Mediana unui set cu număr impar de valori

Me=x_{\frac{n+1}{2}},\quad n\text{ impar}

Ordonează valorile înainte de a găsi mediana.

Explicații, simboluri și exemplu

$x_i$: valorile ordonate crescător
$n$: numărul observațiilor

Exemplu

Din 2, 5, 9 mediana este 5.

Vezi explicația în lecție: Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

Mediana unui set cu număr par de valori

Me=\frac{x_{\frac n2}+x_{\frac n2+1}}2,\quad n\text{ par}

Este media celor două valori centrale, după ordonare.

Explicații, simboluri și exemplu

$x_i$: valorile ordonate crescător
$n$: numărul observațiilor

Exemplu

Din 2, 4, 6, 8 mediana este (4+6)/2=5.

Vezi explicația în lecție: Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

Modul unui set de date

Mo=\text{valoarea cu frecvența maximă}

Se ordonează frecvențele: valoarea cu frecvență maximă este modul. Pot exista mai multe valori modale; dacă toate valorile au aceeași frecvență, nu există un mod unic.

Explicații, simboluri și exemplu

$Mo$: modul (valoarea modală)

Exemplu

În 2, 3, 3, 5 modul este 3.

Vezi explicația în lecție: Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

Frecvența relativă

f_r=\frac{n_i}{n}

Pentru procent, înmulțește frecvența relativă cu 100.

Explicații, simboluri și exemplu

$n_i$: numărul aparițiilor unei valori
$n$: numărul total al observațiilor

Exemplu rezolvat

f_r=\frac{6}{20}=0{,}3=30\%

Șase apariții din 20 înseamnă 30%.

Vezi explicația în lecție: Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

Probabilitatea unui eveniment

P(A) = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}

Explicații, simboluri și exemplu

$P(A)$: probabilitatea evenimentului A

Vezi explicația în lecție: Probabilitate elementară

Geometrie planăUnghiuri, triunghiuri, patrulatere, cerc, arii, relații metrice și trigonometrie.23 formule

Aria dreptunghiului

A = L \cdot l

Explicații, simboluri și exemplu

$A$: aria
$L$: lungimea
$l$: lățimea

Vezi explicația în lecție: Unități de măsură pentru arie. Aria pătratului și a dreptunghiului

Suma unghiurilor unui triunghi

\angle A + \angle B + \angle C = 180°

Explicații, simboluri și exemplu

$\angle A, \angle B, \angle C$: unghiurile triunghiului ABC

Vezi explicația în lecție: Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Teorema lui Pitagora

a^2 + b^2 = c^2

Explicații, simboluri și exemplu

$a, b$: catetele triunghiului dreptunghic
$c$: ipotenuza

Exemplu

c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10

Folosești formula doar într-un triunghi dreptunghic; c este ipotenuza.

Triunghi dreptunghic ABC cu unghiul drept la A, catetele a și b, ipotenuza c.

Vezi explicația în lecție: Teorema lui Pitagora

Linia mijlocie a trapezului

MN = \dfrac{AB + DC}{2}

Explicații, simboluri și exemplu

$MN$: linia mijlocie
$AB, DC$: bazele trapezului

Vezi explicația în lecție: Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

Aria triunghiului

A = \dfrac{b \cdot h}{2}

Explicații, simboluri și exemplu

$A$: aria
$b$: o latură a triunghiului (baza)
$h$: înălțimea corespunzătoare bazei

Triunghi cu baza b și înălțimea h perpendiculară pe dreapta bazei.

Vezi explicația în lecție: Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

Aria paralelogramului

A = b \cdot h

Explicații, simboluri și exemplu

$A$: aria
$b$: o latură (baza)
$h$: înălțimea corespunzătoare bazei

Vezi explicația în lecție: Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

Aria trapezului

A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}

Explicații, simboluri și exemplu

$A$: aria
$B$: baza mare
$b$: baza mică
$h$: înălțimea

Trapez cu baza mare B, baza mică b și înălțimea h, perpendiculară pe cele două baze.

Vezi explicația în lecție: Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

Lungimea cercului

L = 2\pi R = \pi d

Explicații, simboluri și exemplu

$L$: lungimea cercului
$R$: raza cercului
$d$: diametrul cercului

Vezi explicația în lecție: Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Aria discului

A = \pi R^2

Explicații, simboluri și exemplu

$A$: aria discului
$R$: raza cercului

Disc cu centrul O și raza r, de la centru până la circumferință.

Vezi explicația în lecție: Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Teorema lui Thales

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}

Explicații, simboluri și exemplu

$D, E$: punctele de pe laturile AB și AC, cu DE paralelă cu BC

În triunghiul ABC, M este pe AB și N pe AC, iar MN este paralelă cu BC; se formează segmente proporționale.

Vezi explicația în lecție: Teorema lui Thales și reciproca ei

Teorema înălțimii

AH^2 = BH \cdot HC

Explicații, simboluri și exemplu

$AH$: înălțimea din vârful unghiului drept
$BH, HC$: proiecțiile catetelor pe ipotenuză

Vezi explicația în lecție: Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Teorema catetei

\begin{aligned}AB^2 &= BC \cdot BH \quad\text{și}\\ AC^2 &= BC \cdot HC\end{aligned}

Explicații, simboluri și exemplu

$AB, AC$: catetele
$BC$: ipotenuza
$BH, HC$: proiecțiile catetelor pe ipotenuză

Vezi explicația în lecție: Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Sinus și cosinus într-un triunghi dreptunghic

\sin\alpha = \dfrac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \dfrac{a}{i}

Explicații, simboluri și exemplu

$\alpha$: un unghi ascuțit al triunghiului
$o$: cateta opusă unghiului
$a$: cateta alăturată unghiului
$i$: ipotenuza

Vezi explicația în lecție: Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Tangenta și cotangenta într-un triunghi dreptunghic

\text{tg}\,\alpha = \dfrac{o}{a} \qquad \text{ctg}\,\alpha = \dfrac{a}{o}

Explicații, simboluri și exemplu

$\alpha$: un unghi ascuțit al triunghiului
$o$: cateta opusă unghiului
$a$: cateta alăturată unghiului

Vezi explicația în lecție: Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Aria rombului din diagonale

A=\frac{d_1d_2}{2}

Diagonalele rombului sunt perpendiculare.

Explicații, simboluri și exemplu

$d_1,d_2$: diagonalele rombului

Exemplu rezolvat

A=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \mathrm{cm}^2

Folosește diagonalele, nu laturile.

Vezi explicația în lecție: Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

Cateta opusă unghiului de 30°

a=\frac c2

Valabil numai într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: cateta opusă unghiului de 30°
$c$: ipotenuza

Exemplu rezolvat

c=10\ \mathrm{cm}\ \Rightarrow\ a=5\ \mathrm{cm}

Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Vezi explicația în lecție: Proprietățile triunghiului dreptunghic

Raportul laturilor triunghiurilor asemenea

\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k

Comparația se face între laturi omoloage.

Explicații, simboluri și exemplu

$k$: raportul de asemănare

Exemplu

Dacă k=2, fiecare latură din primul triunghi este dublul celei omoloage din al doilea.

Vezi explicația în lecție: Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

Raportul ariilor triunghiurilor asemenea

\frac{A_1}{A_2}=k^2

Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare.

Explicații, simboluri și exemplu

$k$: raportul laturilor omoloage
$A₁,A₂$: ariile triunghiurilor

Exemplu

La k=3, raportul ariilor este 9.

Vezi explicația în lecție: Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Aria pătratului

A=l^2

Aria se exprimă în unități pătrate.

Explicații, simboluri și exemplu

$l$: latura pătratului

Exemplu

Un pătrat cu latura de 5 cm are aria 25 cm².

Vezi explicația în lecție: Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

Unghiul înscris în cerc

m(\angle ABC)=\frac12 m(\widehat{AC})

Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului interceptat.

Explicații, simboluri și exemplu

$ABC$: unghi înscris
$AC$: arcul interceptat care nu conține B

Exemplu

Dacă unghiul înscris interceptează un arc de 100° care nu conține vârful unghiului, măsura unghiului este de 50°.

Vezi explicația în lecție: Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Valorile sinusului pentru unghiuri speciale

\sin30^\circ=\frac12,\ \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}2,\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2

Nu confunda valorile sinusului cu cele ale cosinusului.

Explicații, simboluri și exemplu

$α$: unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Exemplu

sin 30° = 1/2; pentru ipotenuza de 10 cm, cateta opusă este 5 cm.

Vezi explicația în lecție: Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Valorile cosinusului pentru unghiuri speciale

\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2,\ \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}2,\ \cos60^\circ=\frac12

Cosinusul este raportul catetei alăturate la ipotenuză.

Explicații, simboluri și exemplu

$α$: unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Exemplu

cos 60°=1/2; cateta alăturată unui unghi de 60° este jumătate din ipotenuză.

Vezi explicația în lecție: Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Valorile tangentei pentru unghiuri speciale

\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}3,\ \operatorname{tg}45^\circ=1,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3

Tangenta este raportul catetei opuse la cateta alăturată.

Explicații, simboluri și exemplu

$α$: unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Exemplu

La 45°, cele două catete au aceeași lungime, deci tg 45° = 1.

Vezi explicația în lecție: Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Geometrie în spațiuVolume și arii ale corpurilor geometrice.19 formule

Volumul cilindrului

V = A_b \cdot h = \pi r^2 h

Explicații, simboluri și exemplu

$V$: volumul
$A_b$: aria bazei
$r$: raza bazei
$h$: înălțimea

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Aria laterală și aria totală a cilindrului

A_l = 2\pi r h,\qquad A_t = 2\pi r(h + r)

Explicații, simboluri și exemplu

$A_l$: aria laterală
$A_t$: aria totală
$r$: raza bazei
$h$: înălțimea

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Volumul conului circular drept

V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} = \dfrac{\pi r^2 h}{3}

Explicații, simboluri și exemplu

$V$: volumul
$A_b$: aria bazei
$r$: raza bazei
$h$: înălțimea

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Aria laterală și aria totală a conului

A_l = \pi r g,\qquad A_t = \pi r(g + r)

Explicații, simboluri și exemplu

$A_l$: aria laterală
$A_t$: aria totală
$r$: raza bazei
$g$: generatoarea

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Aria sferei

A = 4\pi r^2

Explicații, simboluri și exemplu

$A$: aria sferei
$r$: raza sferei

Vezi explicația în lecție: Sfera: aria și volumul

Volumul corpului sferic

V = \dfrac{4\pi r^3}{3}

Explicații, simboluri și exemplu

$V$: volumul
$r$: raza sferei

Vezi explicația în lecție: Sfera: aria și volumul

Diagonala cubului

d=a\sqrt3

Nu confunda cu diagonala unei fețe, egală cu a√2.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: muchia cubului
$d$: diagonala spațială

Exemplu rezolvat

d=4\sqrt3\ \mathrm{cm}

Exemplu pentru cub cu muchia de 4 cm.

Vezi explicația în lecție: Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Aria totală a cubului

A_t=6a^2

Cubul are șase fețe pătrate congruente.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: muchia cubului

Vezi explicația în lecție: Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Volumul cubului

V=a^3

Volumul se măsoară în unități cubice.

Explicații, simboluri și exemplu

$a$: muchia cubului

Exemplu rezolvat

V=3^3=27\ \mathrm{cm}^3

Nu confunda volumul cu aria.

Cub cu trei muchii egale de lungime a, văzut în perspectivă.

Vezi explicația în lecție: Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Volumul prismei

V=A_b\cdot h

Valabil pentru prisma dreaptă prezentată în lecție.

Explicații, simboluri și exemplu

$A_b$: aria bazei
$h$: înălțimea prismei

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Volumul piramidei

V=\frac{A_b h}{3}

Apare împărțirea la 3, spre deosebire de prismă.

Explicații, simboluri și exemplu

$A_b$: aria bazei
$h$: înălțimea piramidei

Exemplu rezolvat

V=\frac{36\cdot9}{3}=108\ \mathrm{cm}^3

Aria bazei este 36 cm² și înălțimea 9 cm.

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Aria laterală a prismei drepte

A_l=P_b\cdot h

Valabilă pentru prisma dreaptă.

Explicații, simboluri și exemplu

$P_b$: perimetrul bazei
$h$: înălțimea

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Aria laterală a piramidei regulate

A_l=\frac{P_b a_p}{2}

Valabilă pentru o piramidă regulată.

Explicații, simboluri și exemplu

$P_b$: perimetrul bazei
$a_p$: apotema piramidei

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Aria totală a paralelipipedului dreptunghic

A_t=2(Ll+Lh+lh)

Toate dimensiunile se exprimă în aceeași unitate.

Explicații, simboluri și exemplu

$L,l,h$: lungimea, lățimea, înălțimea

Exemplu

L=4 cm, l=3 cm, h=2 cm: At=2(12+8+6)=52 cm².

Vezi explicația în lecție: Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Volumul paralelipipedului dreptunghic

V=L\cdot l\cdot h

Volumul se exprimă în unități cubice.

Explicații, simboluri și exemplu

$L,l,h$: cele trei dimensiuni

Exemplu

4 · 3 · 2 = 24 cm³.

Vezi explicația în lecție: Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Aria totală a prismei drepte

A_t=A_l+2A_b

Prisma are două baze congruente.

Explicații, simboluri și exemplu

$A_l$: aria laterală
$A_b$: aria bazei

Exemplu

Dacă Al=60 cm² și Ab=20 cm², At=100 cm².

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Volumul trunchiului de piramidă

V=\frac h3\left(B+b+\sqrt{Bb}\right)

Bazele sunt poligoane asemenea, în plane paralele.

Explicații, simboluri și exemplu

$B$: aria bazei mari
$b$: aria bazei mici
$h$: înălțimea trunchiului

Exemplu

Pentru B=36 cm², b=9 cm², h=6 cm, V=126 cm³.

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Generatoarea conului circular drept

g^2=r^2+h^2

Teorema lui Pitagora se aplică în secțiunea axială.

Explicații, simboluri și exemplu

$g$: generatoarea
$r$: raza bazei
$h$: înălțimea

Exemplu

La r=3 cm și h=4 cm, g=5 cm.

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Volumul trunchiului de con

V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)

Folosește înălțimea perpendiculară pe baze, nu generatoarea.

Explicații, simboluri și exemplu

$R$: raza bazei mari
$r$: raza bazei mici
$h$: înălțimea

Exemplu

La R=3 cm, r=1 cm, h=6 cm, V=26π cm³.

Vezi explicația în lecție: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Pentru formulele organizate pe clase și capitole, vezi și biblioteca generală de formule. Pentru toate cerințele posibile din examen, consultă și temele pentru Evaluarea Națională. Lista de formule va fi completată pe măsură ce sunt verificate și celelalte lecții.