Lecția 2 din 3 · Divizibilitate
Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9
Ai învățat ce înseamnă că un număr divide alt număr și cum verifici asta prin împărțire. Criteriile de divizibilitate fac același lucru mult mai repede, doar uitându-te la cifrele numărului, fără să împarți efectiv.
Ce vei învăța
- Aplici criteriul de divizibilitate cu 2, uitându-te la ultima cifră.
- Aplici criteriile de divizibilitate cu 5 și cu 10.
- Aplici criteriul de divizibilitate cu , numărând zerourile finale.
- Aplici criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9, folosind suma cifrelor.
- Explici de ce un număr verifică sau nu un criteriu, nu doar constați răspunsul.
- Verifici rapid, pentru un număr dat, cu care dintre 2, 3, 5, 9, 10 se împarte.
Recomandat înainte: Divizori și multipli
Ideea de bază
Ca să afli dacă , poți face împărțirea . Dar pentru anumite numere (2, 5, 10, 10ⁿ, 3, 9) există un truc: te uiți doar la ultima cifră sau la suma cifrelor, și afli imediat dacă numărul se împarte exact.
Aceste trucuri se numesc criterii de divizibilitate. Nu înlocuiesc împărțirea în general, funcționează doar pentru divizorii 2, 5, 10, 10ⁿ, 3 și 9.
De ce avem criterii de divizibilitate
Împărțirea completă îți dă mereu răspunsul corect, dar durează. Dacă vrei doar să știi dacă un număr mare se împarte exact la 2, 3, 5, 9 sau 10, nu are rost să faci toată împărțirea.
Un criteriu de divizibilitate este o regulă scurtă, bazată doar pe cifrele numărului, care îți spune direct dacă acel număr este sau nu multiplu al unui divizor anume.
Legătura cu ce știi deja
înseamnă că se împarte exact la . Criteriile de mai jos sunt scurtături pentru câțiva divizori ficși: 2, 5, 10, 10ⁿ, 3 și 9. Pentru orice alt divizor, tot împărțirea rămâne metoda.
Criteriul pentru 2
Un număr natural se divide cu 2 dacă ultima lui cifră este pară: 0, 2, 4, 6 sau 8.
| Număr | Ultima cifră | Divizibil cu 2? |
|---|---|---|
| 124 | 4 | da |
| 317 | 7 | nu |
Motivul e simplu: orice număr se poate scrie ca „sute plus zeci plus unități” (și tot așa pentru numere mai mari). Sutele, miile, zecile de mii sunt toate multipli de 10, deci multipli de 2. Singura cifră care decide dacă întregul număr e par este ultima.
Criteriul pentru 5
Un număr natural se divide cu 5 dacă ultima lui cifră este 0 sau 5.
| Număr | Ultima cifră | Divizibil cu 5? |
|---|---|---|
| 235 | 5 | da |
| 412 | 2 | nu |
Explicația e aceeași ca la criteriul cu 2: toate cifrele în afară de ultima formează un multiplu de 10, deci un multiplu de 5. Contează doar ce rămâne la sfârșit.
Criteriul pentru 10
Un număr natural se divide cu 10 dacă ultima lui cifră este 0.
| Număr | Ultima cifră | Divizibil cu 10? |
|---|---|---|
| 340 | 0 | da |
| 345 | 5 | nu |
Un număr divizibil cu 10 este automat divizibil și cu 2, și cu 5 (10 este ). De aceea criteriul e mai strict decât cele două de mai sus: 345 are ultima cifră 5, deci se divide cu 5, dar nu cu 10.
Criteriul pentru 10ⁿ
Criteriul cu 10 se extinde direct la puterile lui 10: , și așa mai departe. Numărul de zerouri de la finalul numărului decide.
- Un număr se divide cu dacă are cel puțin 1 zero la final.
- Un număr se divide cu dacă are cel puțin 2 zerouri la final.
- Un număr se divide cu dacă are cel puțin 3 zerouri la final.
- În general, un număr se divide cu dacă are cel puțin zerouri la final.
| Număr | Zerouri finale | Divizibil cu 100? | Divizibil cu 1000? |
|---|---|---|---|
| 2 300 | 2 | da | nu |
| 54 000 | 3 | da | da |
| 700 000 | 5 | da | da |
2 300 are exact 2 zerouri la final, deci se divide cu (), dar nu are 3 zerouri, deci nu se divide cu . 54 000 are 3 zerouri, deci se divide și cu 100, și cu 1 000. 700 000 are 5 zerouri, deci se divide cu pentru orice de la 1 la 5, inclusiv .
„Cel puțin”, nu „exact”
54 000 are 3 zerouri, dar tot se divide cu , nu doar cu . Regula cere cel puțin zerouri, nu exact . Cu cât un număr are mai multe zerouri la final, cu atât se divide cu puteri mai mari ale lui 10.
Criteriul pentru 3
Un număr natural se divide cu 3 dacă suma cifrelor lui se divide cu 3.
Ia 372. Aduni cifrele:
Suma cifrelor, 12, se divide cu 3, deci și 372 se divide cu 3 ().
Compară cu 373: suma cifrelor este , iar 13 nu se divide cu 3. Deci 373 nu se divide cu 3.
Nu te uita la ultima cifră
La 3 (spre deosebire de 2, 5, 10) nu contează ultima cifră, ci suma tuturor cifrelor. 372 și 273 au aceleași cifre în altă ordine, deci aceeași sumă, 12, deci amândouă se divid cu 3.
Criteriul pentru 9
Un număr natural se divide cu 9 dacă suma cifrelor lui se divide cu 9. Regula seamănă cu cea de la 3, dar cu 9 în loc de 3.
18 se divide cu 9, deci 729 se divide cu 9 ().
Fii atent: divizibilitatea cu 3 nu garantează divizibilitatea cu 9. Ia 12: suma cifrelor este . 3 se divide cu 3, deci 12 se divide cu 3. Dar 3 nu se divide cu 9, deci 12 nu se divide cu 9.
3 și 9 nu sunt același criteriu
Orice număr divizibil cu 9 este automat divizibil și cu 3 (fiindcă ). Dar invers nu e adevărat: un număr divizibil cu 3 poate să nu fie divizibil cu 9, ca 12. Verifici suma cifrelor de fiecare dată la divizorul cerut, 3 sau 9, nu presupui.
Tabel recapitulativ
| Divizor | Criteriul |
|---|---|
| 2 | ultima cifră este pară (0, 2, 4, 6, 8) |
| 5 | ultima cifră este 0 sau 5 |
| 10 | ultima cifră este 0 |
| cel puțin zerouri la final | |
| 3 | suma cifrelor se divide cu 3 |
| 9 | suma cifrelor se divide cu 9 |
Primele patru criterii (2, 5, 10, ) folosesc doar cifrele finale. Ultimele două (3, 9) folosesc suma tuturor cifrelor. Când alegi criteriul, întreabă-te dacă ai nevoie de ultima cifră sau de suma cifrelor.
Cum aleg criteriul potrivit
Când ți se cere să verifici mai mulți divizori deodată, treci pe rând prin listă, fiecare cu criteriul lui. Ia 450:
| Divizor | Ce verifici | Rezultat |
|---|---|---|
| 2 | ultima cifră, 0, este pară | da |
| 3 | suma cifrelor, , se divide cu 3 | da |
| 5 | ultima cifră este 0 | da |
| 9 | suma cifrelor, 9, se divide cu 9 | da |
| 10 | ultima cifră este 0 | da |
450 se divide cu toți cei cinci: 2, 3, 5, 9 și 10. Nu e mereu așa. Ia 275: ultima cifră este 5 (deci se divide cu 5, dar nu cu 2 și nu cu 10), iar suma cifrelor, , nu se divide nici cu 3, nici cu 9. 275 se divide doar cu 5, din cei cinci.
În loc să faci cinci împărțiri, faci un singur calcul (ultima cifră) și o singură sumă de cifre, și verifici toate cele cinci criterii din ele.
Exemple rezolvate
Exemplul 1: criteriul ultimei cifre, pentru 2
Este 4 128 divizibil cu 2?
Vezi rezolvarea
Ultima cifră este 8, pară.
Da, 4 128 se divide cu 2.
Exemplul 2: divizibilitate cu 5
Este 1 340 divizibil cu 5? Dar 1 342?
Vezi rezolvarea
1 340 are ultima cifră 0, deci se divide cu 5. 1 342 are ultima cifră 2, nici 0, nici 5, deci nu se divide cu 5.
Exemplul 3: divizibilitate cu 10
Din numerele , care se divid cu 10?
Vezi rezolvarea
250 are ultima cifră 0: se divide cu 10. 255 are ultima cifră 5: nu se divide cu 10 (deși se divide cu 5). 2 600 are ultima cifră 0: se divide cu 10.
250 și 2 600 se divid cu 10.
Exemplul 4: divizibilitate cu 100 ()
Este 4 500 divizibil cu 100? Dar 4 530?
Vezi rezolvarea
4 500 are 2 zerouri la final: se divide cu (). 4 530 are un singur zero la final: nu se divide cu 100.
Exemplul 5: divizibilitate cu 1000 ()
Este 27 000 divizibil cu 1 000? Dar 27 500?
Vezi rezolvarea
27 000 are 3 zerouri la final: se divide cu (). 27 500 are doar 2 zerouri la final: nu se divide cu 1 000, deși se divide cu 100.
Exemplul 6: criteriul sumei cifrelor, pentru 3
Este 5 481 divizibil cu 3?
Vezi rezolvarea
Da, 5 481 se divide cu 3.
Exemplul 7: criteriul sumei cifrelor, pentru 9
Este 4 761 divizibil cu 9?
Vezi rezolvarea
Da, 4 761 se divide cu 9.
Exemplul 8: divizibil cu 3, dar nu cu 9
Este 15 divizibil cu 3? Dar cu 9?
Vezi rezolvarea
6 se divide cu 3, deci 15 se divide cu 3. 6 nu se divide cu 9, deci 15 nu se divide cu 9.
Exemplul 9: verificare combinată
Cu care dintre 2, 3, 5, 9, 10 se divide 630?
Vezi rezolvarea
Ultima cifră este 0: se divide cu 2, cu 5 și cu 10.
Suma cifrelor este 9, care se divide și cu 3, și cu 9. 630 se divide cu toate cele cinci: 2, 3, 5, 9, 10.
Exemplul 10: alege divizorii potriviți
Cu care dintre 2, 3, 5, 9, 10 se divide 275?
Vezi rezolvarea
Ultima cifră este 5: nu se divide cu 2 (nu e pară), se divide cu 5, nu se divide cu 10 (nu e 0).
14 nu se divide nici cu 3, nici cu 9. 275 se divide doar cu 5, din cei cinci divizori.
Greșeli frecvente
Verific dacă 234 se divide cu 3 uitându-mă la ultima cifră, 4.
Criteriul cu 3 folosește suma cifrelor, nu ultima cifră. , iar 9 se divide cu 3, deci 234 se divide cu 3.
163 e divizibil cu 2 pentru că suma cifrelor lui, 10, e pară.
Criteriul cu 2 se uită doar la ultima cifră. 163 are ultima cifră 3, impară, deci nu se divide cu 2. Suma cifrelor nu contează la acest criteriu.
745 se termină în 5, deci se divide cu 10.
Divizibilitatea cu 10 cere ultima cifră 0, nu 5. 745 se divide cu 5, dar nu cu 10.
21 se divide cu 3, deci se divide și cu 9.
Divizibilitatea cu 3 nu implică divizibilitatea cu 9. Suma cifrelor lui 21 este : se divide cu 3, dar nu se divide cu 9. Deci 21 se divide cu 3, dar nu se divide cu 9 ( nu dă un număr natural). Criteriul cu 9 se verifică separat.
3 400 are un zero, deci nu se divide cu 10ⁿ pentru niciun mai mare de 1.
3 400 are de fapt 2 zerouri la final, deci se divide și cu , și cu . Numeri cu grijă zerourile, cifră cu cifră, de la coadă.
54 000 are 3 zerouri, deci se divide cu , dar nu cu .
Regula e „cel puțin zerouri”, nu „exact ”. Cu 3 zerouri la final, 54 000 se divide și cu , și cu , și cu .
Suma cifrelor lui 4 683 este .
Adunarea greșită duce la un rezultat greșit. , care se divide cu 3 (dar nu cu 9), deci 4 683 se divide cu 3. Recalculează suma cu atenție înainte să tragi concluzia.
128 nu se divide cu 3 sau cu 9, deci nu se divide cu nimic din listă.
Fiecare criteriu se verifică separat, independent de celelalte. 128 nu se divide cu 3 sau cu 9, dar are ultima cifră 8, pară, deci se divide cu 2.
Exerciții
Ușor
Este 246 divizibil cu 2?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Ultima cifră, 6, este pară.
Este 815 divizibil cu 5?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Ultima cifră este 5.
Este 720 divizibil cu 10?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Ultima cifră este 0.
Este 231 divizibil cu 3?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
, iar 6 se divide cu 3.
Este 5 400 divizibil cu 100?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Are 2 zerouri la final.
Mediu
Este 918 divizibil cu 9?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
, iar 18 se divide cu 9.
Este 41 000 divizibil cu 1 000? Dar cu 10 000?
Arată răspunsul
Răspuns: Da; nu.
Are 3 zerouri la final: se divide cu , dar nu are 4 zerouri, deci nu se divide cu .
Este 522 divizibil cu 3? Dar cu 9?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, cu amândoi.
, iar 9 se divide și cu 3, și cu 9.
Din numerele , care se divid cu 5?
Arată răspunsul
Răspuns: 150, 155, 160.
Ultima cifră este 0 sau 5 la toate, în afară de 153.
Cu care dintre 2, 3, 5, 9, 10 se divide 360?
Arată răspunsul
Răspuns: Cu toate: 2, 3, 5, 9, 10.
Ultima cifră 0 (2, 5, 10); suma cifrelor (3, 9).
Provocare
Un număr are 4 zerouri la final. Cu care dintre puterile se divide?
Arată răspunsul
Răspuns: , dar nu .
4 zerouri înseamnă cel puțin 4 zerouri pentru primele patru puteri, dar nu ajung pentru , care ar cere 5.
Există vreo cifră astfel încât numărul (adică unul dintre 470, 471, ..., 479) să se dividă și cu 3, și cu 5?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, nicio cifră nu îndeplinește ambele condiții deodată.
Divizibilitatea cu 5 cere ca să fie sau . Pentru : suma cifrelor este , care nu se divide cu 3. Pentru : suma este , care nici ea nu se divide cu 3. Niciuna dintre cele două variante posibile nu trece și testul cu 3.
Este adevărat că orice număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3? Dar invers? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Da; nu, nu întotdeauna.
, deci divizibilitatea cu 9 o implică pe cea cu 3. Invers nu: 12 se divide cu 3 (suma 3), dar nu cu 9 (3 nu se divide cu 9).
Mini-test
Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.
1. Care este criteriul de divizibilitate cu 2?
Arată răspunsul
Răspuns: Ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8
Doar ultima cifră contează la divizibilitatea cu 2.
2. Care număr se divide cu 5, dar nu cu 10?
Arată răspunsul
Răspuns: 205
205 are ultima cifră 5, nu 0, deci se divide cu 5, nu cu 10.
3. Câte zerouri finale îi trebuie unui număr ca să se dividă cu ?
Arată răspunsul
Răspuns: Cel puțin 4 zerouri.
Regula generală: cel puțin zerouri pentru .
4. 27 000 se divide cu ?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, are 3 zerouri la final
27 000 are 3 zerouri la final, deci se divide cu .
5. Este 621 divizibil cu 3? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, pentru că , iar 9 se divide cu 3.
Criteriul cu 3 folosește suma cifrelor.
6. Care afirmație despre 3 și 9 este corectă?
Arată răspunsul
Răspuns: Orice număr divizibil cu 9 este divizibil cu 3
, deci divizibilitatea cu 9 o implică pe cea cu 3, dar nu invers.
7. Cu care dintre 2, 5, 10 se divide 735, fără să calculezi suma cifrelor?
Arată răspunsul
Răspuns: Doar cu 5.
Ultima cifră a lui 735 este 5: se divide cu 5, dar este impar, deci nu se divide cu 2 și nici cu 10.
Întrebări frecvente
Ce este un criteriu de divizibilitate?
O regulă scurtă, bazată doar pe cifrele numărului, care îți spune dacă acel număr se divide cu un anumit divizor, fără să faci împărțirea completă. Există criterii simple pentru 2, 5, 10, 10ⁿ, 3 și 9.
Cum verific dacă un număr este divizibil cu 2?
Te uiți la ultima cifră. Dacă e 0, 2, 4, 6 sau 8, numărul se divide cu 2. Altfel, nu.
Care este criteriul pentru 3?
Aduni toate cifrele numărului. Dacă suma se divide cu 3, atunci și numărul se divide cu 3.
Care este diferența dintre criteriul pentru 3 și pentru 9?
Amândouă folosesc suma cifrelor, dar verifici altceva: la 3, dacă suma se divide cu 3; la 9, dacă suma se divide cu 9. Un număr poate trece testul cu 3 și pică testul cu 9, ca 12.
Cum verific divizibilitatea cu ?
Numeri câte zerouri are numărul la final. Dacă are cel puțin zerouri, se divide cu . De exemplu, un număr cu 3 zerouri la final se divide cu și .
Trebuie să fac împărțirea de fiecare dată?
Nu, pentru 2, 5, 10, 10ⁿ, 3 și 9 criteriile îți dau răspunsul mai repede. Pentru orice alt divizor (7, 11, 13...), împărțirea rămâne metoda.
Ai terminat lecția
Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9
Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.
