Raționalizarea numitorului de forma a√b

Q: De ce înmulțesc și numărătorul?

Pentru că înmulțind fracția cu b/ b (care valorează 1) trebuie să înmulțești ambele părți, altfel schimbi valoarea fracției, nu doar forma ei.

Q: Ce fac dacă numitorul este 23?

Amplifici cu 3. Coeficientul 2 rămâne neschimbat și se înmulțește cu 3 (rezultatul lui 3 · 3), ajungând la numitorul final 6.

Ce vei învăța

Recunoști un numitor irațional de forma $a\sqrt b$
Raționalizezi un numitor de forma $a\sqrt b$ înmulțind fracția cu radicalul potrivit.
Explici de ce înmulțirea cu $\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}$ nu schimbă valoarea fracției.
Simplifici fracția înainte de a raționaliza și rezultatul final, când este posibil.
Verifici dacă numitorul final este rațional și dacă fracția e complet simplificată.
Recunoști raționalizarea greșită, în care se modifică doar numitorul.

Recomandat înainte: Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

Ideea de bază

Un numitor care conține un radical, ca $\sqrt5$ în $\dfrac{3}{\sqrt5}$ se numește numitor irațional. Nu este greșit să scrii o fracție așa, dar în matematică preferăm forma cu numitor rațional (fără radical), pentru că se compară și se calculează mai ușor.

Raționalizarea înseamnă să transformi fracția într-una echivalentă, cu numitor rațional, amplificând-o (înmulțind și numărătorul, și numitorul) cu radicalul potrivit.

\dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{5}

Valoarea fracției nu se schimbă, pentru că ai înmulțit-o cu $\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}$ adică practic cu $1$

Ce înseamnă numitor irațional

O fracție are numitor irațional atunci când la numitor apare un radical care nu se simplifică la un număr întreg, ca $\sqrt5$ $\sqrt2$ sau $2\sqrt3$

$\dfrac{3}{\sqrt5}$ are numitorul $\sqrt5$ care este irațional.
$\dfrac{7}{2\sqrt3}$ are numitorul $2\sqrt3$ care este irațional.
$\dfrac{6}{3}$ are numitorul $3$ care este rațional, deci nu are nevoie de nimic.

Nu orice fracție cu radical are numitor irațional

În $\dfrac{\sqrt5}{3}$ radicalul este la numărător, nu la numitor. Numitorul $3$ este deja rațional, deci nu este nimic de raționalizat aici.

De ce raționalizăm numitorul

O fracție cu numitor rațional se compară, se adună și se calculează mai ușor decât una cu numitor irațional. De aceea, forma finală preferată a unui rezultat este cea fără radical la numitor.

Ideea din spate: dacă înmulțești $\sqrt b$ cu el însuși, obții $b$ un număr rațional (fără radical). Știi deja de la regulile de calcul cu radicali că $\sqrt b\cdot\sqrt b=b$ pentru $b\ge0$ Raționalizarea folosește exact acest fapt, amplificând fracția cu $\sqrt b$

Ideea de fracție echivalentă

Ai învățat de mult că o fracție nu-și schimbă valoarea dacă înmulțești și numărătorul, și numitorul cu același număr nenul. $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\dfrac{8}{12}$ deși arată altfel, are aceeași valoare.

Raționalizarea folosește exact acest principiu, doar că numărul cu care amplifici este un radical. $\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}=1$ (pentru $b>0$ deci înmulțirea cu $\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}$ nu schimbă valoarea fracției, doar forma ei.

Amplificarea este înmulțire cu 1

$\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}$ este o fracție cu aceeași valoare la numărător și numitor, deci valorează $1$ Orice fracție înmulțită cu $1$ rămâne egală ca valoare, chiar dacă arată diferit.

Primul exemplu: $\dfrac{1}{\sqrt2}$

Numitorul este $\sqrt2$ un radical care nu se simplifică la un întreg. Amplifici fracția cu $\sqrt2$ adică înmulțești numărătorul și numitorul cu $\sqrt2$

\dfrac{1}{\sqrt2}

numitor irațional

= \dfrac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}

amplifici cu

\sqrt2

= \dfrac{\sqrt2}{2}

\sqrt2\cdot\sqrt2=2

Al doilea exemplu, cu un coeficient la numărător: $\dfrac{3}{\sqrt5}$

\dfrac{3}{\sqrt5}

= \dfrac{3\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}

amplifici cu

\sqrt5

= \dfrac{3\sqrt5}{5}

\sqrt5\cdot\sqrt5=5

Numitor de forma $a\sqrt b$

Când numitorul are și un coeficient în față, ca în $\dfrac{5}{2\sqrt3}$ amplifici tot cu $\sqrt3$ (nu cu $2\sqrt3$ Coeficientul $2$ rămâne la numitor, înmulțit doar cu radicalul.

\dfrac{5}{2\sqrt3}

coeficient

2

în fața radicalului

= \dfrac{5\cdot\sqrt3}{2\sqrt3\cdot\sqrt3}

amplifici cu

\sqrt3

nu cu

2\sqrt3

= \dfrac{5\sqrt3}{2\cdot3}

\sqrt3\cdot\sqrt3=3

= \dfrac{5\sqrt3}{6}

Coeficientul rămâne la numitor

La $\dfrac{5}{2\sqrt3}$ amplifici cu $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}$ Coeficientul $2$ nu se atinge, doar se înmulțește cu $\sqrt3$ (rezultat din $\sqrt3\cdot\sqrt3$ ajungând la numitorul final $6$

Simplifici înainte sau după

Uneori fracția se poate simplifica înainte de raționalizare, ceea ce face calculul mai ușor. $\dfrac{6}{3\sqrt2}$ are $6$ și $3$ cu un factor comun.

\dfrac{6}{3\sqrt2}

simplifici

6

și

3

cu

3

= \dfrac{2}{\sqrt2}

fracție deja mai simplă

= \dfrac{2\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}

acum raționalizezi

= \dfrac{2\sqrt2}{2}

\sqrt2\cdot\sqrt2=2

= \sqrt2

simplifici din nou cu

2

Alteori simplifici abia după raționalizare, când numărătorul și numitorul rezultat au un factor comun. Același rezultat iese și așa, doar cu un calcul mai lung: $\dfrac{8}{4\sqrt2}$ se amplifică direct cu $\sqrt2$ iar $\dfrac{8\sqrt2}{8}$ se simplifică la final. Alege varianta care ți se pare mai clară, dar verifică mereu la final dacă fracția mai poate fi simplificată.

\dfrac{8}{4\sqrt2}

amplifici direct cu

\sqrt2

= \dfrac{8\sqrt2}{4\cdot2} = \dfrac{8\sqrt2}{8}

= \sqrt2

simplifici cu

8

la final

Verifică simplificarea de fiecare dată

După ce raționalizezi, uită-te dacă numărătorul și numitorul mai au un factor comun. La $\dfrac{2\sqrt2}{2}$ coeficientul $2$ de la numărător se simplifică direct cu numitorul $2$ iar rezultatul rămâne $\sqrt2$

Regula generală

Ai văzut deja ideea prin exemple. Regula, scrisă general, pentru o fracție de forma $\dfrac{m}{a\sqrt b}$ cu $a\ne0$ și $b>0$

\begin{aligned}\dfrac{m}{a\sqrt b} &= \dfrac{m\cdot\sqrt b}{a\sqrt b\cdot\sqrt b} = \dfrac{m\sqrt b}{ab} \\ &\qquad (a\ne0,\ b>0)\end{aligned}

Amplifici întotdeauna cu $\sqrt b$ (radicalul singur, fără coeficientul $a$ pentru că $\sqrt b\cdot\sqrt b=b$ elimină radicalul de la numitor. La final, simplifici fracția $\dfrac{m\sqrt b}{ab}$ dacă $m$ și $ab$ au un factor comun.

Cum verifici rezultatul

Numitorul final este un număr rațional (fără radical)?
Fracția obținută este echivalentă cu cea de la care ai pornit (ai amplificat cu $\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}$ nu ai schimbat valoarea)?
Fracția este simplificată complet, adică numărătorul și numitorul nu mai au niciun factor comun?

Trei verificări, nu una

Un rezultat corect de raționalizare trece toate cele trei verificări: numitor rațional, valoare neschimbată, formă simplificată. Dacă una lipsește, mai ai de lucru la rezultat.

Metoda greșită: schimb doar numitorul

Cea mai frecventă greșeală este să schimbi doar numitorul, lăsând numărătorul neatins. Asta schimbă valoarea fracției, nu doar forma ei.

Greșit: $\dfrac{3}{\sqrt5} \to \dfrac{3}{5}$

Este greșit să scrii $\dfrac{3}{\sqrt5}=\dfrac{3}{5}$ Ai schimbat doar numitorul (din $\sqrt5$ în $5$ fără să înmulțești și numărătorul. Fracția $\dfrac{3}{5}$ nu are aceeași valoare ca $\dfrac{3}{\sqrt5}$ Corect: $\dfrac{3}{\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{5}$ cu numărătorul înmulțit la fel ca numitorul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: $\dfrac{1}{\sqrt2}$

Raționalizează $\dfrac{1}{\sqrt2}$

Vezi rezolvarea

Amplifici fracția cu $\sqrt2$

\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}

Exemplul 2: $\dfrac{3}{\sqrt5}$

Raționalizează $\dfrac{3}{\sqrt5}$

Vezi rezolvarea

Amplifici cu $\sqrt5$ numărătorul $3$ se înmulțește la fel.

\dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{5}

Exemplul 3: coeficient la numitor, $\dfrac{5}{2\sqrt3}$

Raționalizează $\dfrac{5}{2\sqrt3}$

Vezi rezolvarea

Amplifici doar cu $\sqrt3$ Coeficientul $2$ rămâne la numitor.

\dfrac{5}{2\sqrt3} = \dfrac{5\sqrt3}{2\sqrt3\cdot\sqrt3} = \dfrac{5\sqrt3}{6}

Exemplul 4: $\dfrac{6}{3\sqrt2}$ simplifici înainte

Raționalizează $\dfrac{6}{3\sqrt2}$

Vezi rezolvarea

Simplifici întâi $6$ și $3$ cu $3$ apoi raționalizezi.

\dfrac{6}{3\sqrt2}

= \dfrac{2}{\sqrt2}

simplificare cu

3

= \dfrac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2

raționalizare, apoi simplificare cu

2

Exemplul 5: simplificare de la început, $\dfrac{4}{2\sqrt3}$

Raționalizează $\dfrac{4}{2\sqrt3}$ simplificând mai întâi.

Vezi rezolvarea

Simplifici $4$ și $2$ cu $2$ apoi amplifici cu $\sqrt3$

\dfrac{4}{2\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3}

= \dfrac{2\sqrt3}{3}

Exemplul 6: simplificare după raționalizare, $\dfrac{8}{4\sqrt2}$

Raționalizează $\dfrac{8}{4\sqrt2}$ și simplifică rezultatul, dacă se poate.

Vezi rezolvarea

\dfrac{8}{4\sqrt2}

amplifici direct cu

\sqrt2

= \dfrac{8\sqrt2}{4\cdot2} = \dfrac{8\sqrt2}{8}

= \sqrt2

8

și

8

se simplifică

Exemplul 7: numărător cu radical, $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}$

Raționalizează $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}$

Vezi rezolvarea

Amplifici cu $\sqrt5$ la numărător apare produsul $\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}$

\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}

= \dfrac{\sqrt3\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}

= \dfrac{\sqrt{15}}{5}

Exemplul 8: detectează raționalizarea greșită

Un coleg scrie $\dfrac{4}{\sqrt2} = \dfrac{4}{2} = 2$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. A schimbat doar numitorul, fără să înmulțească și numărătorul. A tratat greșit $\sqrt2$ ca și cum ar fi devenit $2$ singur, fără amplificare.

\dfrac{4}{\sqrt2}

amplifici corect cu

\sqrt2

= \dfrac{4\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} = \dfrac{4\sqrt2}{2}

= 2\sqrt2

rezultatul corect, nu

2

Exemplul 9: alege radicalul corect de amplificare

Cu ce trebuie amplificată $\dfrac{7}{3\sqrt6}$ ca să raționalizeze numitorul?

Vezi rezolvarea

Amplifici cu $\sqrt6$ nu cu $3\sqrt6$ și nu cu $6$ Doar radicalul singur, înmulțit cu el însuși, dă un număr rațional.

\dfrac{7}{3\sqrt6} = \dfrac{7\sqrt6}{3\sqrt6\cdot\sqrt6} = \dfrac{7\sqrt6}{18}

Exemplul 10: provocare mixtă

Raționalizează $\dfrac{10}{5\sqrt2}$ și scrie forma finală cea mai simplă.

Vezi rezolvarea

Poți simplifica $10$ și $5$ cu $5$ înainte de amplificare, ceea ce scurtează calculul.

\dfrac{10}{5\sqrt2}

= \dfrac{2}{\sqrt2}

simplificare cu

5

= \dfrac{2\sqrt2}{2}

= \sqrt2

simplificare cu

2

Greșeli frecvente

Scriu $\dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3}{5}$ schimbând doar numitorul.
Numărătorul trebuie înmulțit cu același radical ca numitorul. Corect: $\dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{5}$
La $\dfrac{7}{3\sqrt6}$ amplific cu $3\sqrt6$ (tot numitorul), nu doar cu $\sqrt6$
Amplifici doar cu radicalul $\sqrt6$ nu cu tot numitorul. Coeficientul $3$ rămâne neschimbat, doar radicalul se înmulțește cu el însuși.
La $\dfrac{5}{2\sqrt3}$ uit coeficientul $2$ și scriu numitorul final $3$ nu $6$
Coeficientul $2$ rămâne la numitor și se înmulțește cu $3$ (rezultat din $\sqrt3\cdot\sqrt3$ Numitorul final este $2\cdot3=6$ deci $\dfrac{5\sqrt3}{6}$
La $\dfrac{6}{3\sqrt2}$ raționalizez direct, fără să simplific mai întâi $6$ și $3$
Simplificând mai întâi $\dfrac{6}{3\sqrt2}=\dfrac{2}{\sqrt2}$ calculul de raționalizare devine mai scurt și rezultatul, mai simplu.
După raționalizare, las rezultatul $\dfrac{8\sqrt2}{8}$ nesimplificat.
Verifici mereu dacă numărătorul și numitorul mai au un factor comun. $\dfrac{8\sqrt2}{8}$ se simplifică la $\sqrt2$
Scriu $\sqrt b\cdot\sqrt b = \sqrt b$
$\sqrt b\cdot\sqrt b = b$ fără radical, pentru $b\ge0$ Exact acest fapt face raționalizarea posibilă.
Folosesc conjugata (ca la $a+\sqrt b$ pentru un numitor simplu $a\sqrt b$
Pentru un numitor de forma $a\sqrt b$ este suficient să amplifici cu $\sqrt b$ Conjugata este necesară doar pentru numitori cu sumă sau diferență de radicali, un subiect care nu face parte din această lecție.
Confund raționalizarea cu simplificarea unei fracții obișnuite.
Simplificarea reduce o fracție cu un factor comun $\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ Raționalizarea elimină radicalul de la numitor, amplificând fracția. Pot apărea amândouă în același exercițiu, dar sunt pași diferiți.

Exerciții

Ușor

Raționalizează $\dfrac{1}{\sqrt3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\sqrt3}{3}$
Amplifici cu $\sqrt3$ $\dfrac{1\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$
Raționalizează $\dfrac{5}{\sqrt2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5\sqrt2}{2}$
Amplifici cu $\sqrt2$ $\dfrac{5\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$
Raționalizează $\dfrac{2}{\sqrt7}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2\sqrt7}{7}$
Amplifici cu $\sqrt7$ $\dfrac{2\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}=\dfrac{2\sqrt7}{7}$
Are $\dfrac{4\sqrt2}{2}$ numitor irațional? Simplifică fracția.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Fracția se simplifică la $2\sqrt2$
Numitorul $2$ este rațional, deci nu este nimic de raționalizat. $\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

Mediu

Este $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{9}$ o raționalizare corectă? De ce?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Numitorul a fost calculat greșit: $\sqrt3\cdot\sqrt3 = 3$ nu $9$ Corect: $\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$
Raționalizează $\dfrac{7}{2\sqrt5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7\sqrt5}{10}$
Amplifici cu $\sqrt5$ $\dfrac{7\sqrt5}{2\sqrt5\cdot\sqrt5}=\dfrac{7\sqrt5}{2\cdot5}=\dfrac{7\sqrt5}{10}$
Raționalizează $\dfrac{9}{3\sqrt3}$ simplificând mai întâi.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt3$
$\dfrac{9}{3\sqrt3}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$
Raționalizează $\dfrac{10}{4\sqrt5}$ și simplifică rezultatul.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\sqrt5}{2}$
$\dfrac{10}{4\sqrt5}=\dfrac{10\sqrt5}{4\cdot5}=\dfrac{10\sqrt5}{20}=\dfrac{\sqrt5}{2}$ simplificând $10$ și $20$ cu $10$
Cu ce radical amplifici $\dfrac{6}{5\sqrt7}$ ca să raționalizezi numitorul?
Arată răspunsul
Răspuns: Cu $\sqrt7$
Amplifici doar cu radicalul, nu cu tot numitorul $5\sqrt7$
Un elev scrie $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6}{3} = 2$ Este corect? Dacă nu, dă rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit. Rezultatul corect este $2\sqrt3$
$\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$

Provocare

Raționalizează $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\sqrt6}{3}$
$\dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}{3}$
Raționalizează $\dfrac{12}{6\sqrt2}$ simplificând atât înainte, cât și după.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt2$
$\dfrac{12}{6\sqrt2}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2$ cu simplificare la început $12$ și $6$ se simplifică cu $6$ apoi $\dfrac{2\sqrt2}{2}$ se simplifică din nou cu $2$
Verifică dacă $\dfrac{3\sqrt5}{5}$ este raționalizarea corectă și complet simplificată a lui $\dfrac{3}{\sqrt5}$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Numitorul $5$ este rațional, valoarea nu s-a schimbat (amplificare cu $\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=1$ iar $3$ și $5$ nu au factor comun, deci fracția este complet simplificată.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce înseamnă un numitor irațional?
1. Un numitor negativ
2. Un numitor egal cu $0$
3. Un numitor care conține un radical ce nu se simplifică la un întreg
4. Un numitor foarte mare
Arată răspunsul
Răspuns: Un numitor care conține un radical ce nu se simplifică la un întreg
Un numitor irațional conține un radical care rămâne cu radical, ca $\sqrt5$ sau $2\sqrt3$
2. De ce $\dfrac{6}{\sqrt{11}}$ și $\dfrac{6\sqrt{11}}{11}$ au aceeași valoare?
1. Pentru că $\sqrt{11}$ și $11$ sunt egale
2. Pentru că ai amplificat fracția cu $\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ care valorează $1$
3. Pentru că numărătorul s-a mărit mai mult decât numitorul
4. Nu au aceeași valoare
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că ai amplificat fracția cu $\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ care valorează $1$
Amplificarea cu o fracție egală cu $1$ nu schimbă valoarea: $\dfrac{6\cdot\sqrt{11}}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}} = \dfrac{6\sqrt{11}}{11}$
3. Cu ce trebuie amplificată $\dfrac{7}{2\sqrt3}$ ca să raționalizeze numitorul?
1. $2\sqrt3$
2. $3$
3. $2$
4. $\sqrt3$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt3$
Amplifici doar cu radicalul singur, $\sqrt3$ coeficientul $2$ rămâne neschimbat.
4. Ce este greșit la $\dfrac{4}{\sqrt2} = \dfrac{4}{2}$
1. Numărătorul nu a fost înmulțit cu $\sqrt2$
2. Numitorul nu s-a schimbat deloc
3. $4$ nu poate fi împărțit la $\sqrt2$
4. Nu este nimic greșit
Arată răspunsul
Răspuns: Numărătorul nu a fost înmulțit cu $\sqrt2$
S-a schimbat doar numitorul; corect ar fi $\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$
5. Raționalizează $\dfrac{2}{\sqrt5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2\sqrt5}{5}$
Amplifici cu $\sqrt5$ $\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$
6. Ce numitor obții imediat după amplificarea cu $\sqrt3$ a lui $\dfrac{9}{4\sqrt3}$ înainte de simplificare?
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
Numitorul devine $4\cdot3=12$ deci $\dfrac{9\sqrt3}{12}$ (simplificabil în continuare la $\dfrac{3\sqrt3}{4}$
7. De ce trebuie să verifici simplificarea și după ce ai raționalizat un numitor?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că numărătorul și numitorul rezultat pot avea un factor comun necesar de simplificat.
Ca la $\dfrac{8\sqrt2}{8}$ care se simplifică la $\sqrt2$

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să raționalizez un numitor?

Înseamnă să transformi o fracție cu radical la numitor într-una echivalentă, cu numitor rațional (fără radical), amplificând fracția cu radicalul potrivit.

De ce înmulțesc și numărătorul?

Pentru că înmulțind fracția cu $\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}$ (care valorează $1$ trebuie să înmulțești ambele părți, altfel schimbi valoarea fracției, nu doar forma ei.

Cu ce radical trebuie să înmulțesc?

Cu radicalul care apare singur la numitor. La un numitor de forma $a\sqrt b$ amplifici cu $\sqrt b$ nu cu $a\sqrt b$ și nu doar cu $a$

Ce fac dacă numitorul este

2\sqrt3

Amplifici cu $\sqrt3$ Coeficientul $2$ rămâne neschimbat și se înmulțește cu $3$ (rezultatul lui $\sqrt3\cdot\sqrt3$ ajungând la numitorul final $6$

Trebuie să simplific înainte?

Nu este obligatoriu, dar ajută. Dacă numărul din fața radicalului și coeficientul numitorului au un factor comun, simplificarea de la început face calculul mai scurt. Verifică oricum simplificarea și la final.

Folosim conjugata în această lecție?

Nu. Conjugata se folosește la raționalizarea unui numitor de forma $a+\sqrt b$ sau $a\sqrt b \pm c\sqrt d$ care rămâne pentru o altă lecție. Aici lucrezi doar cu numitori de forma $a\sqrt b$ raționalizați prin amplificare simplă.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce înseamnă numitor irațional

De ce raționalizăm numitorul

Ideea de fracție echivalentă

Primul exemplu: $\dfrac{1}{\sqrt2}$

Numitor de forma $a\sqrt b$

Simplifici înainte sau după

Regula generală

Cum verifici rezultatul

Metoda greșită: schimb doar numitorul