Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

Din lecțiile trecute știi ce înseamnă $\sqrt{a}$: numărul nenegativ care, ridicat la pătrat, dă numărul de sub radical. Acum pui doi radicali împreună.

Regula produsului: dacă $a \ge 0$ și $b \ge 0$, atunci $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Regula câtului: dacă $a \ge 0$ și $b > 0$, atunci $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$.

Verificarea numerică: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ și $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$. Regulile merg în ambele sensuri, deci poți și să desfaci un radical într-un produs sau într-un cât, când asta ajută calculul.

Atenție: regula este pentru înmulțire și împărțire. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ nu este $\sqrt{a+b}$.

În Lecția 2 ai calculat rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ când rezultatul este exact: $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$. Ai verificat mereu prin ridicare la pătrat.

Tot de acolo: $\sqrt{a} \ge 0$ pentru orice număr $a \ge 0$, iar $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$. Nu se scrie rădăcină pătrată dintr-un număr negativ. Aceste două fapte sunt tot ce îți trebuie ca să înțelegi regulile de azi.

Când înmulțești doi radicali, poți trece produsul numerelor de sub radical sub un singur radical.

Condiția $a \ge 0$ și $b \ge 0$ nu este un moft: dacă unul dintre numerele de sub radical ar fi negativ, radicalul lui nici nu ar exista în mulțimea numerelor cu care lucrezi acum. Cât timp ambele numere sunt nenegative, regula se aplică fără grijă.

Nu este magie. Notează $\sqrt{a} = x$ și $\sqrt{b} = y$. Din definiția rădăcinii pătrate, $x \ge 0$, $y \ge 0$ și

Înmulțești cele două produse și grupezi factorii:

Deci $xy$ este un număr nenegativ (produs de două numere nenegative) al cărui pătrat este $ab$. Exact asta înseamnă $\sqrt{ab}$. Prin urmare $xy = \sqrt{ab}$, adică $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

Alege perechile așa încât produsul numerelor de sub radical să iasă pătrat perfect. Atunci rădăcina se calculează exact, ca în Lecția 2.

Merge și cu fracții sub radical:

La împărțire regula arată la fel: câtul numerelor de sub radical trece sub un singur radical.

De data asta numitorul cere mai mult: $b > 0$, nu doar $b \ge 0$. Dacă $b = 0$, atunci $\sqrt{b} = 0$ și ai împărți la $0$, ceea ce nu are sens. La fel, $\sqrt{\frac{a}{b}}$ ar avea o fracție cu numitor $0$. Deci $b$ trebuie să fie strict pozitiv.

Același argument, simplificat. Notează $\sqrt{a} = x$ și $\sqrt{b} = y$, cu $x \ge 0$ și $y > 0$ (numitorul nu poate fi $0$). Atunci $x^2 = a$ și $y^2 = b$.

Numărul $\dfrac{x}{y}$ este nenegativ și pătratul lui este $\dfrac{a}{b}$, deci $\dfrac{x}{y} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$. Adică $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$.

Câtul nu iese mereu întreg, dar poate fi tot exact:

Și cu fracții la numărător și la numitor:

Fiecare regulă merge în ambele sensuri. De la stânga la dreapta strângi doi radicali într-unul singur. De la dreapta la stânga desfaci un radical într-un produs sau într-un cât, când asta ajută.

Desfacerea inversă este utilă când un radical mare se rupe în bucăți cunoscute. De exemplu $\sqrt{144} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12$, dacă nu ții minte că $12^2 = 144$.

Regula produsului este pentru înmulțire, nu pentru adunare sau scădere. Nu poți scrie $\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{a+b}$.

Un singur contraexemplu este de ajuns ca să arăți că o regulă falsă nu ține. Același lucru pentru scădere: $\sqrt{25}-\sqrt{9} = 5 - 3 = 2$, dar $\sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$.

A doua capcană: numerele negative sub radical. În mulțimea numerelor cu care lucrezi, $\sqrt{-2}$ nu are sens, deci nu poți aplica regula produsului unor numere negative. Verifică întâi că $a \ge 0$ și $b \ge 0$ (respectiv $b > 0$ la numitor), apoi transformă.