Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Q: Care este diferența dintre cerc și disc?

Cercul este format doar din punctele aflate la distanța r de centru, adică din contur. Discul este cercul împreună cu interiorul lui.

Ce vei învăța

Definesc cercul și discul și le deosebesc.
Recunosc și construiesc raza, coarda, diametrul și arcul unui cerc și folosesc relația $d = 2r$
Recunosc unghiul la centru și determin măsura unui arc cu ajutorul lui.
Stabilesc poziția unui punct față de un cerc comparând distanța până la centru cu raza.
Stabilesc poziția unei drepte față de un cerc și poziția a două cercuri.

Recomandat înainte: Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

Ideea de bază

Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor din plan aflate la distanța $r$ de punctul $O$ Toată lecția pornește de aici: pentru orice punct compari distanța lui până la centru cu raza.

La fel pentru drepte și pentru alt cerc: poziția se stabilește din distanțe și din date, nu din cum arată desenul. Un punct care pare pe cerc, o coardă care pare diametru sau o dreaptă care pare tangentă trebuie verificate.

Cercul: definiție și construcție

Fie $O$ un punct din plan și $r$ o lungime. Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la distanța $r$ de $O$ Se notează $\mathcal{C}(O, r)$

A

B

C

sunt pe cercul

\mathcal{C}(O, r)

deci

OA = OB = OC = r

Orice punct de pe cerc este la distanța $r$ de centru. Reciproc, orice punct aflat la distanța $r$ de centru este pe cerc. Centrul nu este un punct al cercului.

Construcția cu compasul. Ca să desenezi cercul $\mathcal{C}(O, 3\text{ cm})$

Marchezi punctul $O$
Deschizi compasul cu rigla gradată la $3\text{ cm}$ (distanța dintre vârf și mină).
Fixezi vârful compasului în $O$ și rotești compasul o tură completă, fără să schimbi deschiderea.

Deschiderea compasului rămâne aceeași pe toată tura: de aceea fiecare punct desenat este la aceeași distanță de $O$

Interiorul, exteriorul și discul

Cercul împarte punctele planului în trei categorii. Pentru un punct $P$ compari distanța $OP$ cu raza $r$

OP < r

P

este în interiorul cercului.

OA = r

A

este pe cerc.

OQ > r

Q

este în exteriorul cercului.

Poziția lui $P$	Condiția	Exemplu, $r = 3\text{ cm}$
în interiorul cercului	$OP < r$	$OP = 2\text{ cm}$
pe cerc	$OP = r$	$OP = 3\text{ cm}$
în exteriorul cercului	$OP > r$	$OP = 5\text{ cm}$

Discul de centru $O$ și rază $r$ este cercul împreună cu interiorul lui: toate punctele $P$ cu $OP \le r$ Cercul este doar „conturul”; discul este toată suprafața închisă de el.

Discul: cercul împreună cu interiorul lui (zona colorată).

P

aparține discului, dar nu aparține cercului.

Desenul nu este dovadă

Un punct desenat foarte aproape de contur nu este automat pe cerc. Decide doar distanța până la centru, dată sau măsurată.

M

pare să fie pe cerc, dar

OM = 3{,}1\text{ cm}

și

r = 3\text{ cm}

Cum

OM > r

M

este în exteriorul cercului.

Raza, coarda și diametrul

Raza este un segment care unește centrul cu un punct al cercului, de exemplu $OA$ Tot „rază” se numește și lungimea lui, $r$
Coarda este un segment cu ambele capete pe cerc, de exemplu $CD$
Diametrul este o coardă care trece prin centrul cercului, de exemplu $EF$

OA

este o rază.

CD

este o coardă care nu trece prin centru.

EF

este un diametru: o coardă care trece prin centrul

O

Diametrul $EF$ este format din două raze, $OE$ și $OF$ puse cap la cap. De aici relația dintre diametrul $d$ și raza $r$

d = 2r \qquad r = \dfrac{d}{2}

De exemplu, un cerc cu raza de $4\text{ cm}$ are diametrul de $8\text{ cm}$ iar un cerc cu diametrul de $9\text{ cm}$ are raza de $4{,}5\text{ cm}$

Orice diametru este o coardă (are capetele pe cerc). Nu orice coardă este diametru: coarda trebuie să treacă prin centru.

Coarda

MN

trece foarte aproape de centru, dar nu prin

O

MN

este coardă, nu diametru.

Arcul de cerc

Două puncte $A$ și $B$ ale unui cerc îl împart în două părți. Fiecare parte se numește arc de cerc, cu capetele $A$ și $B$ Arcul se notează $\overset{\frown}{AB}$

Ca să fie clar despre care dintre cele două arce vorbești, poți numi și un punct de pe arc: $\overset{\frown}{AMB}$ este arcul de la $A$ la $B$ care trece prin $M$ Când nu se precizează altfel, $\overset{\frown}{AB}$ înseamnă arcul mai mic.

Punctele

A

și

B

împart cercul în arcul mic

\overset{\frown}{AB}

(albastru) și arcul mare

\overset{\frown}{AMB}

(verde).

Capetele unui diametru împart cercul în două arce egale. Fiecare dintre ele se numește semicerc.

Unghiul la centru

Un unghi la centru este un unghi cu vârful în centrul cercului. Laturile lui conțin două raze. Dacă $A$ și $B$ sunt pe cercul de centru $O$ unghiul $\angle AOB$ este unghi la centru.

\angle AOB

este unghi la centru: vârful

O

este centrul cercului, iar laturile conțin razele

OA

și

OB

La notația $\angle AOB$ litera din mijloc este vârful. Pentru un unghi la centru, litera din mijloc trebuie să fie centrul cercului.

Nu orice unghi desenat în interiorul unui cerc este unghi la centru. Verifici vârful:

\angle APB

nu este unghi la centru: vârful

P

nu este centrul cercului, chiar dacă

A

și

B

sunt pe cerc.

Măsura unui arc

Arcele se măsoară în grade, cu ajutorul unghiului la centru. Unghiul la centru $\angle AOB$ „deschide” arcul mic $\overset{\frown}{AB}$

măsura arcului mic $\overset{\frown}{AB}$ este egală cu măsura unghiului la centru $\angle AOB$
măsura arcului mare $\overset{\frown}{AB}$ este $360°$ minus măsura arcului mic;
un semicerc are $180°$ iar tot cercul are $360°$

\angle AOB = 110°

deci arcul mic

\overset{\frown}{AB}

are

110°

iar arcul mare are

360° - 110° = 250°

Motivul pentru $360°$ unghiurile din jurul unui punct au împreună $360°$ iar arcele „deschise” de ele acoperă tot cercul o singură dată.

\angle AOB = 64°

unghiul la centru

m(\overset{\frown}{AB}) = 64°

arcul mic

360° - 64° = 296°

arcul mare

Poziția unei drepte față de un cerc

O dreaptă $a$ și un cerc pot avea două puncte comune, un punct comun sau niciun punct comun:

dreaptă secantă: are două puncte comune cu cercul;
dreaptă tangentă: are un singur punct comun cu cercul, numit punct de tangență;
dreaptă exterioară: nu are niciun punct comun cu cercul.

Ca să stabilești poziția fără să te bazezi pe desen, compari distanța $d$ de la centrul $O$ la dreapta $a$ (lungimea perpendicularei din $O$ pe $a$ cu raza $r$

d < r

dreapta

a

are două puncte comune cu cercul,

A

și

B

Dreapta

a

este secantă.

d = r

dreapta

a

are un singur punct comun cu cercul, punctul

T

Dreapta

a

este tangentă.

d > r

dreapta

a

nu are niciun punct comun cu cercul. Dreapta

a

este exterioară cercului.

Poziția dreptei	Puncte comune	Condiția
secantă	$2$	$d < r$
tangentă	$1$	$d = r$
exterioară	$0$	$d > r$

Desenul nu este dovadă

O dreaptă care pare să „atingă” cercul nu este automat tangentă. Dacă $r = 3\text{ cm}$ și distanța de la centru la dreaptă este $2{,}9\text{ cm}$ dreapta este secantă, oricât de aproape de cerc ar părea.

Pozițiile relative a două cercuri

Fie cercurile $\mathcal{C}_1(O_1, R)$ și $\mathcal{C}_2(O_2, r)$ cu $R > r$ Poziția lor depinde de distanța dintre centre, $O_1O_2$ comparată cu suma razelor $R + r$ și cu diferența lor $R - r$ În figurile de mai jos $R = 3\text{ cm}$ și $r = 1\text{ cm}$ deci $R + r = 4\text{ cm}$ și $R - r = 2\text{ cm}$

Cercuri exterioare: niciun punct comun.

O_1O_2 = 4{,}5\text{ cm} > R + r

Cercuri tangente exterior: un singur punct comun,

T

iar fiecare cerc este în afara celuilalt.

O_1O_2 = 4\text{ cm} = R + r

Cercuri secante: două puncte comune,

A

și

B

R - r < O_1O_2 < R + r

aici

O_1O_2 = 3{,}5\text{ cm}

Cercuri tangente interior: un singur punct comun,

T

iar cercul mic este în interiorul celui mare.

O_1O_2 = 2\text{ cm} = R - r

Cercuri interioare: niciun punct comun, cercul mic este în interiorul celui mare.

O_1O_2 = 1{,}5\text{ cm} < R - r

Cercuri concentrice: același centru,

O_1 = O_2 = O

deci

O_1O_2 = 0

Sunt un caz special de cercuri interioare.

Pozițiile a două cercuri, cu $R > r$
Poziția	Puncte comune	Condiția
exterioare	$0$	$O_1O_2 > R + r$
tangente exterior	$1$	$O_1O_2 = R + r$
secante	$2$	$R - r < O_1O_2 < R + r$
tangente interior	$1$	$O_1O_2 = R - r$
interioare	$0$	$O_1O_2 < R - r$
concentrice	$0$	$O_1O_2 = 0$

Numărul de puncte comune nu este suficient: și cercurile exterioare, și cele interioare au $0$ puncte comune, iar tangentele exterior și interior au câte $1$ Uită-te și unde se află un cerc față de celălalt, sau compară $O_1O_2$ cu $R + r$ și cu $R - r$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoaște elementele cercului

În figură, $O$ este centrul cercului. Ce reprezintă segmentele $OA$ $BC$ și $DE$

Vezi rezolvarea

$OA$ unește centrul cu un punct al cercului: este o rază.
$BC$ are capetele pe cerc și trece prin $O$ este un diametru (deci și o coardă).
$DE$ are capetele pe cerc, dar nu trece prin $O$ este o coardă care nu este diametru.

Exemplul 2: de la rază la diametru

Un cerc are raza $r = 4{,}5\text{ cm}$ Cât este diametrul lui?

Vezi rezolvarea

d = 2r

d = 2 \cdot 4{,}5\text{ cm} = 9\text{ cm}

Exemplul 3: de la diametru la rază

Diametrul unui cerc este $13\text{ cm}$ Cât este raza?

Vezi rezolvarea

r = \dfrac{d}{2}

r = \dfrac{13\text{ cm}}{2} = 6{,}5\text{ cm}

Exemplul 4: care unghiuri sunt unghiuri la centru?

În figură, $O$ este centrul cercului, $A$ $B$ $C$ sunt pe cerc, iar $P$ este în interiorul cercului. Care dintre unghiurile $\angle AOB$ $\angle BOC$ și $\angle APC$ sunt unghiuri la centru?

Vezi rezolvarea

$\angle AOB$ și $\angle BOC$ au vârful $O$ în centrul cercului: sunt unghiuri la centru. $\angle APC$ are vârful $P$ care nu este centrul: nu este unghi la centru.

Exemplul 5: măsura arcelor

Unghiul la centru $\angle AOB$ are $64°$ Care sunt măsurile celor două arce cu capetele $A$ și $B$

Vezi rezolvarea

m(\overset{\frown}{AB}) = \angle AOB = 64°

arcul mic

360° - 64° = 296°

arcul mare

Exemplul 6: unghiuri la centru în jurul lui O

Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe cercul de centru $O$ $\angle AOB = 90°$ și $\angle BOC = 150°$ iar unghiurile $\angle AOB$ $\angle BOC$ $\angle COA$ sunt în jurul punctului $O$ Află $\angle COA$ și măsura arcului mic $\overset{\frown}{CA}$

Vezi rezolvarea

\angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360°

unghiuri în jurul unui punct

90° + 150° + \angle COA = 360°

\angle COA = 360° - 240° = 120°

m(\overset{\frown}{CA}) = 120°

arcul mic, egal cu unghiul la centru

Exemplul 7: poziția unor puncte față de cerc

Cercul are centrul $O$ și raza $r = 5\text{ cm}$ Știm $OA = 3\text{ cm}$ $OB = 5\text{ cm}$ $OC = 7{,}5\text{ cm}$ Unde se află punctele $A$ $B$ $C$

Vezi rezolvarea

$OA = 3\text{ cm} < 5\text{ cm}$ $A$ este în interiorul cercului.
$OB = 5\text{ cm} = r$ $B$ este pe cerc.
$C$ este în exteriorul cercului, pentru că $OC = 7{,}5\text{ cm} > 5\text{ cm}$

$A$ și $B$ aparțin discului de centru $O$ și rază $5\text{ cm}$ dintre ele, doar $B$ aparține cercului.

Exemplul 8: poziția unor drepte față de cerc

Cercul are centrul $O$ și raza $r = 4\text{ cm}$ Distanțele de la $O$ la dreptele $a$ $b$ $c$ sunt $3\text{ cm}$ $4\text{ cm}$ și $6\text{ cm}$ Stabilește poziția fiecărei drepte și câte puncte comune are cu cercul.

Vezi rezolvarea

Dreapta	Comparația	Poziția
$a$	$3\text{ cm} < 4\text{ cm}$	secantă, $2$ puncte comune
$b$	$4\text{ cm} = 4\text{ cm}$	tangentă, $1$ punct comun
$c$	$6\text{ cm} > 4\text{ cm}$	exterioară, $0$ puncte comune

Exemplul 9: dreapta care pare tangentă

Cercul are raza $r = 3\text{ cm}$ iar distanța de la centrul $O$ la dreapta $a$ este $OH = 2{,}9\text{ cm}$ Pe desen, dreapta pare aproape să atingă cercul. Este tangentă?

Vezi rezolvarea

$OH = 2{,}9\text{ cm} < 3\text{ cm} = r$ deci dreapta $a$ este secantă: are două puncte comune cu cercul, $A$ și $B$ chiar dacă sunt apropiate. Ar fi tangentă numai dacă distanța ar fi exact $3\text{ cm}$

Exemplul 10: poziția a două cercuri

Cercurile $\mathcal{C}_1(O_1, 5\text{ cm})$ și $\mathcal{C}_2(O_2, 3\text{ cm})$ au $O_1O_2 = 8\text{ cm}$ Ce poziție au? Dar dacă $O_1O_2 = 2\text{ cm}$ Dar dacă $O_1O_2 = 6\text{ cm}$

Vezi rezolvarea

$R + r = 5\text{ cm} + 3\text{ cm} = 8\text{ cm}$ și $R - r = 5\text{ cm} - 3\text{ cm} = 2\text{ cm}$

$O_1O_2 = 8\text{ cm} = R + r$ cercurile sunt tangente exterior.
$O_1O_2 = 2\text{ cm} = R - r$ cercurile sunt tangente interior.
$2\text{ cm} < 6\text{ cm} < 8\text{ cm}$ cercurile sunt secante.

Exemplul 11: diametru, rază și unghi la centru

$AB$ este un diametru al cercului de centru $O$ și rază $6\text{ cm}$ Punctul $C$ este pe cerc și $\angle AOC = 50°$ Află lungimea lui $AB$ lungimea lui $OC$ $\angle COB$ și măsura arcului mic $\overset{\frown}{CB}$

Vezi rezolvarea

AB = 2r = 2 \cdot 6\text{ cm} = 12\text{ cm}

OC = r = 6\text{ cm}

C

este pe cerc

\angle AOC + \angle COB = 180°

A

O

B

sunt coliniare: unghiuri suplementare

\angle COB = 180° - 50° = 130°

m(\overset{\frown}{CB}) = 130°

Greșeli frecvente

Cercul și discul sunt același lucru.
Cercul este doar conturul: punctele aflate exact la distanța $r$ de centru. Discul este cercul împreună cu interiorul lui $OP \le r$
Orice coardă este diametru.
Diametrul este o coardă care trece prin centru. O coardă care nu trece prin centru nu este diametru, oricât de aproape de centru ar trece.
Raza este de două ori diametrul, deci pentru $r = 5\text{ cm}$ diametrul este $2{,}5\text{ cm}$
Diametrul este de două ori raza: $d = 2r = 10\text{ cm}$ Raza este jumătate din diametru.
Punctul este desenat pe contur, deci este pe cerc.
Un punct este pe cerc numai dacă distanța lui până la centru este egală cu raza, dată sau măsurată. Desenul poate fi aproximativ.
Orice unghi desenat în interiorul cercului este unghi la centru.
Unghiul la centru are vârful în centrul cercului. În notația $\angle AOB$ litera din mijloc, $O$ trebuie să fie centrul.
Dreapta pare că atinge cercul, deci este tangentă.
Tangenta are exact un punct comun cu cercul: distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza. Dacă distanța este mai mică decât raza, dreapta este secantă.
Secanta și tangenta sunt același lucru, ambele „ating” cercul.
Secanta are două puncte comune cu cercul $d < r$ tangenta are unul singur $d = r$
Măsura unui arc o ghicesc după desen.
Măsura arcului mic $\overset{\frown}{AB}$ este măsura unghiului la centru $\angle AOB$ dată sau calculată. Arcul mare are $360°$ minus arcul mic.

Exerciții

Ușor

Completează: cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor din plan …
Arată răspunsul
Răspuns: aflate la distanța $r$ de punctul $O$
Un cerc are raza de $7\text{ cm}$ Cât este diametrul?
Arată răspunsul
Răspuns: $14\text{ cm}$
$d = 2r = 2 \cdot 7\text{ cm} = 14\text{ cm}$
Un cerc are diametrul de $10\text{ cm}$ Cât este raza?
Arată răspunsul
Răspuns: $5\text{ cm}$
$r = d : 2 = 10\text{ cm} : 2 = 5\text{ cm}$
În figură, $O$ este centrul cercului. Care segment este rază, care este coardă care nu e diametru și care este diametru?
Arată răspunsul
Răspuns: Raza: $OK$ Coarda care nu e diametru: $PQ$ Diametrul: $MN$
Adevărat sau fals? „Orice coardă a unui cerc este diametru.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Doar coardele care trec prin centru sunt diametre. Afirmația corectă este invers: orice diametru este coardă.
Cercul are centrul $O$ și raza $r$ iar punctul $P$ are $OP < r$ Aparține $P$ cercului? Dar discului?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu aparține cercului, dar aparține discului.
$P$ este în interiorul cercului. Discul conține cercul și interiorul lui.
Câte puncte comune are cu cercul o dreaptă tangentă? Dar o dreaptă secantă? Dar una exterioară?
Arată răspunsul
Răspuns: Tangenta: $1$ Secanta: $2$ Dreapta exterioară: $0$

Mediu

În figură, $O$ este centrul cercului, iar $M$ este un punct al cercului. Care dintre unghiurile marcate este unghi la centru: $\angle AOB$ sau $\angle AMB$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOB$
Vârful lui $\angle AOB$ este centrul $O$ Vârful lui $\angle AMB$ este $M$ un punct al cercului, nu centrul.
Unghiul la centru $\angle AOB$ are $48°$ Află măsura arcului mic $\overset{\frown}{AB}$ și a arcului mare.
Arată răspunsul
Răspuns: Arcul mic: $48°$ Arcul mare: $312°$
Arcul mic are măsura unghiului la centru, $48°$ Arcul mare: $360° - 48° = 312°$
Arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ al cercului de centru $O$ are $135°$ Cât are $\angle AOB$ Cât are arcul mare?
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOB = 135°$ arcul mare are $225°$
Unghiul la centru are măsura arcului mic. $360° - 135° = 225°$
Cercul are centrul $O$ și raza $6\text{ cm}$ $OA = 4\text{ cm}$ $OB = 6\text{ cm}$ $OC = 9\text{ cm}$ Stabilește poziția punctelor $A$ $B$ $C$ față de cerc.
Arată răspunsul
Răspuns: $A$ în interior, $B$ pe cerc, $C$ în exterior.
$4 < 6$ $6 = 6$ $9 > 6$
Cercul are raza $5\text{ cm}$ Distanțele de la centru la dreptele $m$ $n$ $p$ sunt $2\text{ cm}$ $5\text{ cm}$ $5{,}5\text{ cm}$ Stabilește poziția fiecărei drepte.
Arată răspunsul
Răspuns: $m$ secantă, $n$ tangentă, $p$ exterioară.
$2 < 5$ secantă; $5 = 5$ tangentă; $5{,}5 > 5$ exterioară.
În figură, dreptele $a$ $b$ $c$ și cercul de centru $O$ Stabilește poziția fiecărei drepte față de cerc.
Arată răspunsul
Răspuns: $a$ secantă $2$ puncte comune), $b$ tangentă $1$ punct comun, $T$ $c$ exterioară $0$ puncte comune).
Cercurile $\mathcal{C}_1(O_1, 6\text{ cm})$ și $\mathcal{C}_2(O_2, 4\text{ cm})$ Stabilește poziția lor dacă $O_1O_2 = 10\text{ cm}$ și apoi dacă $O_1O_2 = 1\text{ cm}$
Arată răspunsul
Răspuns: $O_1O_2 = 10\text{ cm}$ tangente exterior. $O_1O_2 = 1\text{ cm}$ interioare.
$R + r = 10\text{ cm}$ și $R - r = 2\text{ cm}$ $10 = R + r$ $1 < R - r$
Ce poziție au cele două cercuri din figură și câte puncte comune au?
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt secante, cu două puncte comune: $A$ și $B$
Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe cercul de centru $O$ iar $\angle AOB$ $\angle BOC$ $\angle COA$ sunt în jurul lui $O$ $\angle AOB = 100°$ și $\angle BOC = 140°$ Află $\angle COA$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle COA = 120°$
$360° - 100° - 140° = 120°$

Provocare

$AB$ este diametru în cercul de centru $O$ iar $C$ este un punct al cercului cu $\angle AOC = 70°$ Află $\angle COB$ măsura arcului mic $\overset{\frown}{AC}$ și măsura arcului mic $\overset{\frown}{CB}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle COB = 110°$ arcul $\overset{\frown}{AC}$ are $70°$ arcul $\overset{\frown}{CB}$ are $110°$
$A$ $O$ $B$ sunt coliniare, deci $\angle AOC + \angle COB = 180°$ și $\angle COB = 110°$ Arcele mici au măsurile unghiurilor la centru.
Care afirmație este falsă? (a) Orice diametru este coardă. (b) Centrul cercului este un punct al cercului. (c) Discul conține cercul. (d) Un semicerc are $180°$
Arată răspunsul
Răspuns: (b)
Centrul este la distanța $0$ de el însuși, nu la distanța $r$ deci nu este pe cerc. Este în interiorul cercului.
În figură, $O$ este centrul cercului, $F$ este în exteriorul cercului, iar $H$ este în interiorul lui. Scrie toate razele, toate coardele și toate diametrele care apar în figură.
Arată răspunsul
Răspuns: Raze: $OA$ $OB$ $OC$ Coarde: $BC$ și $DE$ Diametru: $BC$
$OB$ și $OC$ sunt raze, fiind jumătățile diametrului $BC$ $OF$ nu este rază, pentru că $F$ nu este pe cerc. $GH$ nu este coardă, pentru că $H$ nu este pe cerc.
$AB$ este diametru în cercul de centru $O$ iar $P$ este pe cerc. Unghiul $\angle AOP$ este de $3$ ori mai mare decât $\angle POB$ Află cele două unghiuri și arcul mic $\overset{\frown}{PB}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle POB = 45°$ $\angle AOP = 135°$ arcul $\overset{\frown}{PB}$ are $45°$
$\angle AOP + \angle POB = 180°$ (unghiuri suplementare). Notez $\angle POB = x$ $3x + x = 180°$ $4x = 180°$ $x = 45°$ Deci $\angle AOP = 135°$ iar arcul mic $\overset{\frown}{PB}$ are $45°$
Cercul $\mathcal{C}_1$ are raza de $7\text{ cm}$ Cercul $\mathcal{C}_2$ cu raza mai mică, este tangent exterior cu $\mathcal{C}_1$ iar distanța dintre centre este $10\text{ cm}$ Cât este raza lui $\mathcal{C}_2$ Ce poziție ar avea cercurile dacă centrele ar fi la $4\text{ cm}$ unul de altul?
Arată răspunsul
Răspuns: $r = 3\text{ cm}$ La $4\text{ cm}$ tangente interior.
Tangente exterior: $O_1O_2 = R + r$ deci $10 = 7 + r$ și $r = 3\text{ cm}$ $R - r = 7 - 3 = 4\text{ cm} = O_1O_2$ tangente interior.
Două cercuri au razele egale, de $4\text{ cm}$ iar distanța dintre centre este $8\text{ cm}$ Ce poziție au? Unde se află punctul lor comun?
Arată răspunsul
Răspuns: Tangente exterior; punctul comun este mijlocul segmentului $O_1O_2$
$O_1O_2 = 8\text{ cm} = 4\text{ cm} + 4\text{ cm} = R + r$ Punctul comun $T$ este pe segmentul $O_1O_2$ cu $O_1T = O_2T = 4\text{ cm}$ deci este mijlocul lui.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cercul de centru $O$ și rază $r$ este:
1. mulțimea punctelor din plan aflate la distanța $r$ de $O$
2. mulțimea punctelor din plan aflate la distanța cel mult $r$ de $O$
3. segmentul de lungime $r$ care pornește din $O$
4. suprafața colorată din jurul lui $O$
Arată răspunsul
Răspuns: mulțimea punctelor din plan aflate la distanța $r$ de $O$
A doua variantă și ultima descriu discul, nu cercul.
2. În figură, $O$ este centrul cercului. Care segment este diametru?
1. $AB$
2. $CD$
3. $OE$
4. atât $AB$ cât și $CD$
Arată răspunsul
Răspuns: $CD$
Doar $CD$ trece prin centrul $O$ $AB$ este o coardă care nu trece prin $O$ iar $OE$ este o rază.
3. Un cerc are raza de $8\text{ cm}$ Cât este diametrul?
Arată răspunsul
Răspuns: $16\text{ cm}$
$d = 2r = 16\text{ cm}$
4. Care afirmație este adevărată?
1. Orice coardă este diametru.
2. Orice diametru este coardă.
3. Raza este de două ori diametrul.
4. O coardă care trece aproape de centru este diametru.
Arată răspunsul
Răspuns: Orice diametru este coardă.
Diametrul are capetele pe cerc, deci este o coardă. Invers nu este adevărat: coarda trebuie să treacă chiar prin centru.
5. În figură, $O$ este centrul cercului. Care unghi este unghi la centru?
1. $\angle ACB$
2. $\angle AOB$
3. amândouă
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOB$
Vârful lui $\angle AOB$ este centrul $O$ Vârful lui $\angle ACB$ este $C$ un punct al cercului.
6. Unghiul la centru $\angle AOB$ are $75°$ Care este măsura arcului mare $\overset{\frown}{AB}$
Arată răspunsul
Răspuns: $285°$
Arcul mic are $75°$ arcul mare $360° - 75° = 285°$
7. Cercul are centrul $O$ și raza $4\text{ cm}$ iar $OP = 4\text{ cm}$ Punctul $P$ este:
1. în interiorul cercului
2. pe cerc
3. în exteriorul cercului
4. nu se poate stabili
Arată răspunsul
Răspuns: pe cerc
$OP = r$
8. Raza unui cerc este $5\text{ cm}$ iar distanța de la centru la dreapta $a$ este $6\text{ cm}$ Dreapta $a$ este:
1. secantă
2. tangentă
3. exterioară cercului
4. diametru
Arată răspunsul
Răspuns: exterioară cercului
$d = 6\text{ cm} > r = 5\text{ cm}$ deci dreapta nu are puncte comune cu cercul.
9. Ce poziție au cele două cercuri din figură?
1. tangente exterior
2. tangente interior
3. secante
4. concentrice
Arată răspunsul
Răspuns: tangente interior
Au un singur punct comun, $T$ iar cercul mic este în interiorul celui mare.
10. Cercurile au razele $R = 9\text{ cm}$ și $r = 4\text{ cm}$ iar $O_1O_2 = 5\text{ cm}$ Ce poziție au?
Arată răspunsul
Răspuns: tangente interior
$R - r = 5\text{ cm} = O_1O_2$

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre cerc și disc?

Cercul este format doar din punctele aflate la distanța $r$ de centru, adică din contur. Discul este cercul împreună cu interiorul lui.

Ce este un diametru?

O coardă care trece prin centrul cercului. Lungimea lui este dublul razei: $d = 2r$

Ce este unghiul la centru?

Un unghi cu vârful în centrul cercului, ale cărui laturi conțin două raze. Măsura lui este egală cu măsura arcului mic cuprins între laturi.

Cum îmi dau seama dacă o dreaptă este tangentă la un cerc?

Compari distanța de la centru la dreaptă cu raza. Dacă sunt egale, dreapta are un singur punct comun cu cercul și este tangentă. Dacă distanța este mai mică, dreapta este secantă.

Câte poziții pot avea două cercuri?

Exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior și interioare; cercurile concentrice (cu același centru) sunt un caz special de cercuri interioare.

Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Ce vei învăța

Ideea de bază

Cercul: definiție și construcție

Interiorul, exteriorul și discul

Raza, coarda și diametrul

Arcul de cerc

Unghiul la centru

Măsura unui arc

Poziția unei drepte față de un cerc

Pozițiile relative a două cercuri

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoaște elementele cercului

Exemplul 2: de la rază la diametru

Exemplul 3: de la diametru la rază

Exemplul 4: care unghiuri sunt unghiuri la centru?

Exemplul 5: măsura arcelor

Exemplul 6: unghiuri la centru în jurul lui O

Exemplul 7: poziția unor puncte față de cerc

Exemplul 8: poziția unor drepte față de cerc

Exemplul 9: dreapta care pare tangentă

Exemplul 10: poziția a două cercuri

Exemplul 11: diametru, rază și unghi la centru

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a